Đề chọn đội tuyển HSG Toán THPT năm 2021 sở GD&ĐT Khánh Hòa (Vòng 1)
Vào một ngày thu đẹp trời tại tỉnh Khánh Hòa, sở Giáo dục và Đào tạo đã tổ chức kỳ thi chọn đội tuyển học sinh giỏi THPT cấp Quốc gia năm 2021 môn Toán vòng 1. Đây là sự kiện quan trọng, quy tụ những tài năng trẻ xuất sắc nhất trong lĩnh vực Toán học của tỉnh, chuẩn bị cho cuộc tranh tài lớn hơn trên đấu trường quốc gia.
Đề thi được biên soạn theo hình thức tự luận, gồm 5 bài toán đòi hỏi sự sáng tạo và tư duy logic cao. Mỗi bài toán là một thách thức đáng giá, thử thách khả năng phân tích, tổng hợp và vận dụng kiến thức của các thí sinh. Với thời gian làm bài 180 phút, các học sinh phải thể hiện sự nhanh nhạy, kiên trì và tập trung cao độ.
Không khí thi cử căng thẳng nhưng cũng tràn ngập niềm đam mê và quyết tâm của các thí sinh. Mỗi bút lông gạch đi là một nỗ lực không ngừng nghỉ, mỗi dòng tính toán là một bước tiến gần hơn đến đáp án. Kỳ thi này không chỉ là một cuộc tranh tài trí tuệ, mà còn là cơ hội để các tài năng trẻ được khẳng định và phát triển tiềm năng của mình.
Trích dẫn Đề chọn đội tuyển HSG Toán THPT năm 2021 sở GD&ĐT Khánh Hòa (Vòng 1)
Câu 1. (4,0 điểm)
Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{l}x^3-y^3+6 x^2+13 x-y+10=0 \\ \sqrt{1-x^2}+1=\sqrt{x-2 y+5}+\sqrt{y-1}\end{array}\right.$.
Câu 2. (4,0 điểm)
Cho dãy số $\left(u_n\right)$ được xác định bởi $u_1=1$ và $u_{n+1}=\frac{u_n^2+2}{5-u_n}$ với mọi $n \in \mathbb{N}^*$.
Chứng minh rằng dãy số $\left(u_n\right)$ có giới hạn hữu hạn khi $n \rightarrow+\infty$ và tìm giới hạn đó.
Câu 3. (4,0 điểm)
Cho đa thức $f(x)=x^{2021}+a_1 x^{2020}+\ldots+a_{2020} x+a_{2021}$ với hệ số nguyên thỏa mãn phương trình $(f(x))^4+(f(x))^2-2=0$ có 2021 nghiệm nguyên (các nghiệm đôi một phân biệt). Chứng minh rằng không thể phân tích $f(x)$ thành tích $f(x)=p(x) . q(x)$ với $p(x), q(x)$ là
các đa thức có hệ số nguyên.
Câu 4. (4,0 điểm)
Cho tam giác nhọn không cân $A B C$ có trực tâm $H$ và nội tiếp đường tròn $(O)$. Gọi $E, F$ lần lượt là chân đường cao hạ từ $B, C$ của tam giác $A B C$. $M$ là giao điểm của đường tròn ngoại tiếp tam giác $A E F$ với đường tròn $(O)$ $(M$ không trùng $A)$. Đường thẳng $B H$ cắt đường tròn $(O)$ tại $D(D$ không trùng $B)$. $I$ là trung điểm $B C$.
a) Chứng minh rằng ba đường thẳng $A M, E F, B C$ đồng quy tại một điểm.
b) Đường tròn ngoại tiếp tam giác $H E I$ cắt $B C$ tại $N(N$ không trùng $I)$. Đường thẳng $E N$ cắt đường thẳng qua $H$ và song song với $B C$ tại $K$. Chứng minh rằng bốn điểm $M, H, K, D$ cùng thuộc một đường tròn.
