Đề chọn đội tuyển HSG Toán THPT năm 2020 – 2021 sở GD&ĐT TP HCM
Trong khuôn khổ công tác phát hiện và bồi dưỡng tài năng trẻ, Sở Giáo dục và Đào tạo Thành phố Hồ Chí Minh đã tổ chức kỳ thi chọn lọc đội tuyển học sinh giỏi môn Toán cấp Trung học Phổ thông cho năm học 2020 – 2021. Sự kiện quan trọng này diễn ra trong hai ngày 20 và 21 tháng 10 năm 2020.
Kỳ thi chọn đội tuyển được chia làm hai phần thi riêng biệt. Phần thi thứ nhất bao gồm bốn bài toán khó, thử thách khả năng tư duy logic và kiến thức toán học của các thí sinh. Thời gian làm bài cho phần thi này là 180 phút, tương đương ba giờ đồng hồ. Sau đó, phần thi thứ hai cũng gồm bốn bài toán không kém phần khó khăn, và thí sinh cũng được 180 phút để hoàn thành.
Với cấu trúc thi nghiêm ngặt và khó khăn, kỳ thi chọn đội tuyển học sinh giỏi Toán THPT năm học 2020 – 2021 của Sở Giáo dục và Đào tạo Thành phố Hồ Chí Minh hứa hẹn sẽ tìm ra những tài năng xuất sắc nhất trong lĩnh vực Toán học, đại diện cho thành phố tại các kỳ thi cấp quốc gia và quốc tế.
Trích dẫn Đề chọn đội tuyển HSG Toán THPT năm 2020 – 2021 sở GD&ĐT TP HCM
Bài 1. (5 điểm)
Cho dãy số $\left(u_n\right)$ xác định bởi:
$$
u_1=4, u_2=4058 \text { và } u_{n+2}=4 u_{n+1}+4042 u_n \text { với } n=1,2,3, \ldots
$$
a) Tìm tất cả các số thực dương $a$ sao cho dãy số $\left(v_n\right)$ xác định bởi $v_n=\frac{u_n}{a^n}$ với $n=1,2,3, \ldots$ có giới hạn hữu hạn khi $n \rightarrow+\infty$.
b) Chứng minh rằng $\left(u_{2020}-385\right) \vdots 2021$.
Bài 2. (5 điểm)
Cho hàm số $f(x)=x^2-x^3$ xác định trên $\mathbb{R}$.
a) Tìm điều kiện của $x, y$ sao cho $f(x)+f(y)=f(x+y)$.
b) Xét các số thực không âm $a, b, c, d$ thay đổi thỏa mãn $a+b+c+d=\frac{3}{4}$.
Tìm giá trị lớn nhất của $M=f(a)+f(b)+f(c)+f(d)$.
Bài 3. (5 điểm)
Cho hàm số $f(x)=x^3-2020 x^2+2019 x-2018$ có đồ thị $(C)$.
a) Giả sử đường thẳng $(d)$ cắt $(C)$ tại 3 điểm phân biệt có hoành độ lần lượt là $a, b, c$. Tính $a+b+c$.
b) Xét 4041 điểm thuộc $(C)$ có hoành độ lần lượt là $-2020,-2019, \ldots, 0, \ldots, 2019,2020$. Hỏi có bao nhiêu tam giác có ba đỉnh là ba điểm trong 4041 điểm trên?
