Đề chọn đội tuyển HSG Toán THPT năm 2020 – 2021 sở GD&ĐT Hà Tĩnh
Trong khuôn khổ chuẩn bị cho kỳ thi học sinh giỏi Quốc gia môn Toán THPT năm học 2020 – 2021, Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Hà Tĩnh đã tổ chức một vòng thi sơ khảo nhằm lựa chọn đội tuyển tiêu biểu của tỉnh. Sự kiện quan trọng này diễn ra trong hai ngày 22 và 23 tháng 9 năm 2020, thu hút sự tham gia của các học sinh xuất sắc trong lĩnh vực Toán học trên khắp địa bàn tỉnh.
Đề thi sơ khảo được thiết kế với hai phần thi riêng biệt, bao gồm tổng cộng bảy bài toán đa dạng và thách thức. Mỗi phần thi kéo dài trong vòng 180 phút, đòi hỏi các thí sinh phải vận dụng tối đa kiến thức và kỹ năng giải quyết vấn đề của mình. Những câu hỏi được xây dựng nhằm kiểm tra sự hiểu biết sâu rộng về các lĩnh vực Toán học, cũng như khả năng tư duy logic và sáng tạo của các học sinh.
Kỳ thi sơ khảo này đóng vai trò quan trọng trong việc tuyển chọn những tài năng xuất sắc nhất, đại diện cho tỉnh Hà Tĩnh tham gia vào kỳ thi học sinh giỏi Quốc gia môn Toán THPT năm học 2020 – 2021. Đây là cơ hội để các học sinh thể hiện năng lực và đam mê của mình, đồng thời khẳng định vị thế của tỉnh Hà Tĩnh trong lĩnh vực giáo dục Toán học.
Trích dẫn Đề chọn đội tuyển HSG Toán THPT năm 2020 – 2021 sở GD&ĐT Hà Tĩnh
Câu 1 (5,0 điểm). Cho phương trình $x^n=x+1$. Chứng minh rằng với mỗi $n \in \mathbb{N}, n \geq 2$, phương trình có nghiệm dương duy nhất, ký hiệu là $x_n$.
a. Tính giới hạn của dãy số $\left(u_n\right)$ với $u_n=n\left(x_n-1\right)$.
b. Tìm số thực $k$ sao cho dãy số $v_n=n^k\left(x_{n+1}-x_n\right)$ có giới hạn hữu hạn khác 0 .
Câu 2 (5,0 điểm). Tìm tất cả các hàm số $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn
$$
f(y-f(x))=f(f(x))-2 y f(x)+f(y) \quad \forall x, y \in \mathbb{R} .
$$
Câu 3 (5,0 điểm). Cho tam giác nhọn $A B C$ có $A B<A C<B C$ và nội tiếp đường tròn $(O ; R)$. Đường thẳng $d$ thay đổi nhưng luôn vuông góc với đoạn thẳng $O A$ và cắt cạnh $A B, A C$ lần lượt tại $M, N$. Gọi $K$ là giao điểm của đường thẳng $B N$ và $C M ; P$ là giao điểm của đường thẳng $A K$ và $B C ; I$ là trung điểm của $B C$.
a. Chứng minh tứ giác $M N I P$ nội tiếp được trong một đường tròn.
b. Gọi $H$ là trực tâm tam giác $A M N$. Chứng minh rằng đường thẳng $H K$ luôn đi qua một điểm cố định khi đường thẳng $d$ thay đổi.
