Đề chọn đội tuyển HSG Toán năm 2021 sở GD&ĐT tỉnh Đồng Nai
Vào một ngày đáng nhớ trong tháng 9 năm 2020, Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Đồng Nai đã tổ chức một sự kiện quan trọng: Kỳ thi chọn đội tuyển học sinh giỏi Quốc gia năm 2021 môn Toán. Đây là một cơ hội để các tài năng trẻ trong lĩnh vực Toán học được tôn vinh và có cơ hội tỏa sáng trên đấu trường quốc gia.
Đề thi chọn đội tuyển này được thiết kế một cách công phu, gồm 01 trang với 05 bài toán dạng tự luận, yêu cầu các thí sinh phải vận dụng tối đa kiến thức và kỹ năng giải quyết vấn đề. Thời gian làm bài được quy định là 180 phút, đủ để các học sinh thể hiện khả năng suy luận logic, tư duy phân tích và khả năng ứng dụng kiến thức vào thực tế.
Sự kiện này không chỉ là một cuộc thi đơn thuần, mà còn là một sân chơi để các tài năng trẻ được khám phá và phát triển. Những học sinh xuất sắc nhất sẽ được lựa chọn để đại diện cho tỉnh Đồng Nai tham gia Kỳ thi học sinh giỏi Quốc gia năm 2021, nơi họ sẽ cạnh tranh với những tài năng xuất sắc nhất từ khắp mọi miền đất nước.
Trích dẫn Đề chọn đội tuyển HSG Toán năm 2021 sở GD&ĐT tỉnh Đồng Nai
Câu 1. (4 điểm)
Cho dãy số $\left(u_n\right)$ xác định bởi $u_1=-2020$ và $u_{n+1}=u_n+\frac{1}{2021 n}$ với mọi $n \in \mathbb{N}^*$.
Chứng minh rằng tồn tại số nguyên dương $n$ sao cho $u_n>0$.
Câu 2. (4 điểm)
Tìm các số nguyên dương $x$ và $y$ thỏa mãn $7^x+x^4+47=y^2$.
Câu 3. (4 điểm)
Tìm các hàm số $f: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}$ thỏa mãn $f\left(a^2 f(a)+f(b)\right)=[f(a)]^3+b, \forall a, b \in \mathbb{Z}$.
Câu 4. (4 điểm)
Cho tam giác $A B C$ cân tại $A$, lấy điểm $D$ thuộc cạnh $A B$ khác $A$ và $B$, gọi $(O)$ là đường tròn ngoại tiếp tam giác $B C D$, tiếp tuyến của đường tròn $(O)$ tại $D$ cắt đường thẳng $A C$ tại điểm $E$, vẽ tiếp tuyến $E F$ của đường tròn $(O)$ tại tiếp điểm $F$ khác $D$. Gọi $I$ là giao điểm của hai đường thẳng $B F$ và $C D$, gọi $K$ là giao điểm của hai đường thẳng $A I$ và $B C$. Chứng minh $B K=2 C K$.
Câu 5. (4 điểm)
Một tổ gồm có 5 học sinh được phân công trực nhật 6 ngày trong tuần từ thứ hai đến thứ bảy thỏa mãn các điều kiện sau: Mỗi ngày đều có từ 1 đến nhiều nhất là 2 học sinh trực và trong cả tuần mỗi học sinh trực đúng 2 lần, mỗi lần trực 1 ngày. Tính số các cách phân công trực nhật của tổ thỏa mãn các điều kiện đã cho.
