Đề chọn đội tuyển HSG Toán năm 2020 sở GD&ĐT Khánh Hòa (vòng 1).
Trong hành trình tìm kiếm và đào tạo những tài năng trẻ xuất sắc trong lĩnh vực Toán học, Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Khánh Hòa đã tổ chức một sự kiện quan trọng vào Thứ Năm, ngày 19 tháng 09 năm 2019. Đây là Kỳ thi chọn đội tuyển thi học sinh giỏi môn Toán khối Trung học Phổ thông (THPT) cấp Quốc gia năm 2020, nhằm tuyển chọn những học sinh xuất sắc nhất để đại diện cho tỉnh Khánh Hòa tham gia kỳ thi học sinh giỏi môn Toán cấp Quốc gia năm 2020.
Đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi Toán năm 2020 do Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Khánh Hòa soạn thảo (vòng 1) gồm 01 trang với 05 bài toán tự luận, yêu cầu các thí sinh phải vận dụng kiến thức và tư duy logic để giải quyết. Thời gian dành cho các học sinh làm bài là 180 phút, đủ để các em thể hiện khả năng và sự thông thạo trong môn Toán.
Kỳ thi này không chỉ là một sân chơi trí tuệ mà còn là cơ hội để các học sinh giỏi được khám phá và phát triển tiềm năng của mình. Sự chuẩn bị chu đáo và sự nỗ lực không ngừng của các em sẽ là chìa khóa để đạt được thành tích cao trong kỳ thi này, trở thành những thành viên xuất sắc của đội tuyển học sinh giỏi môn Toán khối THPT cấp Quốc gia năm 2020, đại diện cho tỉnh Khánh Hòa tham gia vào một đấu trường mới, thử thách hơn.
Trích dẫn Đề chọn đội tuyển HSG Toán năm 2020 sở GD&ĐT Khánh Hòa (vòng 1).
Bài 1. (4,0 điểm)
Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{l}x^3+4 x+2=\frac{3}{y-4}+4 \sqrt{6-2 y} \\ y^3+4 y+2=\frac{3}{z-4}+4 \sqrt{6-2 z} \\ z^3+4 z+2=\frac{3}{x-4}+4 \sqrt{6-2 x}\end{array} \quad(x, y, z \in \mathbb{R})\right.$.
Bài 2. (6,0 điểm)
a) Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương $n$, tồn tại duy nhất một cặp số nguyên dương $(a ; b)$ sao cho $n=\frac{1}{2}(a+b-1)(a+b-2)+a$.
b) Cho dãy số $\left(u_n\right)$ xác định bởi $u_1=5, u_{n+1}=u_n+\frac{1}{u_n}$ với mọi $n \geq 1$.
Tìm phần nguyên của $u_{209}$.
Bài 3. (4,0 điểm)
Một nhóm phượt có $n$ thành viên. Năm 2018 , họ thực hiện sáu chuyến du lịch mà mỗi chuyến có đúng 5 thành viên tham gia. Biết rằng hai chuyến du lịch bất kì chung nhau không quá 2 thành viên. Tìm giá trị nhỏ nhất của $n$.
Bài 4. (4,0 điểm)
Cho tam giác $A B C$ nhọn không cân có đường trung tuyến $A M$ và đường phân giác trong $A D$. Qua điểm $N$ thuộc đoạn thẳng $A D(N$ không trùng với $A$ và $D)$, kẻ $N P$ vuông góc với $A B(P$ thuộc cạnh $A B)$. Đường thẳng qua $P$ vuông góc với $A D$ cắt đoạn thẳng $A M$ tại $Q$. Chứng minh rằng $Q N$ vuông góc với $B C$.