Đề chọn đội tuyển HSG Toán 12 THPT năm 2020 – 2021 sở GD&ĐT Quảng Trị
Trong một ngày thu đẹp trời, sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Quảng Trị đã tổ chức một sự kiện quan trọng vào tháng 10 năm 2020. Đó là kỳ thi chọn đội tuyển học sinh giỏi văn hóa lớp 12 THPT dự thi Quốc gia môn Toán cho năm học 2020 – 2021. Sự kiện này đã thu hút sự tham gia của nhiều tài năng trẻ đam mê môn Toán từ khắp các vùng miền của tỉnh.
Kỳ thi được chia làm hai vòng thi căng thẳng và thử thách. Vòng thi đầu tiên gồm 04 câu hỏi khó nhằm kiểm tra kiến thức nền tảng và tư duy logic của các thí sinh. Những học sinh xuất sắc vượt qua vòng thi này sẽ được tiếp tục thử sức với 03 câu hỏi khó hơn trong vòng thi thứ hai.
Đề thi được thiết kế một cách công phu và khắt khe, nhằm tìm ra những học sinh giỏi nhất, xuất sắc nhất để đại diện cho tỉnh Quảng Trị tham dự kỳ thi Quốc gia môn Toán danh giá. Sự kiện này không chỉ là một cuộc thi mà còn là cơ hội để các tài năng trẻ được khẳng định năng lực và đam mê của mình trong lĩnh vực Toán học.
Trích dẫn Đề chọn đội tuyển HSG Toán 12 THPT năm 2020 – 2021 sở GD&ĐT Quảng Trị
Câu 1. (5,0 điểm)
Cho dãy số dương $\left(x_n\right)$ được xác định bởi $x_1=\frac{5}{2}$ và
$$
x_{n+1}^2=x_n^3-12 x_n+\frac{20 n+21}{n+1}, \forall n \geq 1 .
$$
Chứng minh dãy số $\left(x_n\right)$ có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.
Câu 2. (5,0 điểm)
Cho các số thực dương $a, b$ thỏa mãn $a^3+b^4 \leq a^2+b^3$. Chứng minh rằng $a^3+b^3 \leq 2$.
Câu 3. (5,0 điểm)
Cho tam giác $A B C$ cân tại $A$, nội tiếp đường tròn $(O)$ và điểm $M$ cố định nằm bên ngoài $(O)$. Đường thẳng $d$ thay đổi luôn đi qua $M$ cắt $(O)$ tại hai điểm phân biệt $P, Q$; các đường thẳng $A Q, A P$ cắt $B C$ lần lượt tại $R$ và $S$. Gọi $I$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $R P Q$.
1. Chứng minh bốn điểm $P, Q, R, S$ nằm trên một đường tròn.
2. Chứng minh khi $d$ thay đổi thì $I$ thuộc một đường thẳng cố định.
