Đề chọn đội tuyển HSG Toán 12 THPT năm 2020 – 2021 sở GD&ĐT Hà Nội
Trong không khí tràn ngập sự hân hoan và phấn khích, Sở Giáo dục và Đào tạo thành phố Hà Nội đã tổ chức kỳ thi chọn đội tuyển học sinh giỏi cấp thành phố môn Toán lớp 12 THPT năm học 2020 – 2021. Sự kiện quan trọng này diễn ra trong hai ngày liên tiếp, 19/10/2020 và 20/10/2020, tạo nên một sân chơi trí tuệ đầy thử thách và hứng khởi cho các tài năng trẻ.
Trong không gian thi đấu căng thẳng nhưng đầy nhiệt huyết, các học sinh đã có cơ hội thể hiện kiến thức và kỹ năng toán học của mình. Từng câu hỏi, từng bài toán khó khăn đã trở thành những thách thức thú vị, khơi dậy sự sáng tạo và tư duy logic trong tâm trí của các thí sinh. Mỗi giây phút trôi qua đều mang đến những cảm xúc lẫn lộn giữa căng thẳng và phấn khích, tạo nên một bầu không khí thi đấu sôi động và đầy màu sắc.
Kỳ thi này không chỉ là một sân chơi trí tuệ, mà còn là nơi khơi nguồn cảm hứng và nuôi dưỡng niềm đam mê học tập của các học sinh. Những thành tích xuất sắc sẽ trở thành động lực để họ tiếp tục nỗ lực, phấn đấu và vươn tới những tầm cao mới trong tương lai.
Trích dẫn Đề chọn đội tuyển HSG Toán 12 THPT năm 2020 – 2021 sở GD&ĐT Hà Nội
Bài 1 (5 điểm)
Cho dãy số $\left(u_n\right)$ xác định bởi $u_1=1$ và $u_{n+1}=\frac{u_n}{2^n u_n+3}, \forall n \geq 1$.
Tìm giới hạn $\lim \sqrt[n]{u_n}$.
Bài 2 ( 5 điểm)
Cho đa thức $P(x)=\left(x-a_1\right)\left(x-a_2\right) \ldots\left(x-a_9\right)-3$, trong đó $a_1, a_2, \ldots, a_9$ là các số nguyên đôi một khác nhau. Chứng minh $P(x)$ không phân tích được thành tích của hai đa thức với hệ số nguyên có bậc lớn hơn hoặc bằng 1 .
Bài 3 (5 điểm)
Cho tam giác $A B C$ cân tại $A\left(\widehat{B A C}<90^{\circ}\right)$ và $M$ là trung điểm của đoạn thẳng $A B$. Lấy điểm $N$ thuộc đoạn thẳng $C M$ sao cho $\widehat{C B N}=\widehat{A C M}$.
a) Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác $B C N$ tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác $A M N$.
b) Đoạn thẳng $A C$ cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác $A M N$ tại điểm thứ hai $P$. Gọi $I$ là trung điểm của đoạn thẳng $B C$. Chứng minh đường thằng $N P$ đi qua trung điểm của đoạn thẳng $M I$.
