Đề chọn đội tuyển HSG Toán 12 năm học 2020 – 2021 sở GD&ĐT Quảng Bình
Trong một ngày đầu thu tháng 9 năm 2020, sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Quảng Bình đã tổ chức một sự kiện quan trọng – kỳ thi chọn đội tuyển học sinh giỏi môn Toán cấp Quốc gia dành cho học sinh lớp 12 THPT. Đây là bước đệm quan trọng để các tài năng trẻ có cơ hội tỏa sáng trên đấu trường toán học cấp quốc gia.
Đề thi chọn đội tuyển năm nay gồm 4 bài toán tự luận, được thiết kế để thách thức tư duy logic và khả năng giải quyết vấn đề của các thí sinh. Với thời gian làm bài 180 phút, các học sinh đã phải vật lộn với những câu hỏi khó nhằn, đòi hỏi sự kiên trì và tính sáng tạo cao.
Không khí thi cử căng thẳng nhưng cũng tràn ngập niềm đam mê và quyết tâm của các học sinh. Mỗi bút lông ghi lại những dòng tính toán, mỗi trang giấy nhuốm đầy mồ hôi và sự cố gắng, tất cả đều hướng tới một mục tiêu cao cả – đại diện cho tỉnh nhà tại kỳ thi học sinh giỏi quốc gia.
Trích dẫn Đề chọn đội tuyển HSG Toán 12 năm học 2020 – 2021 sở GD&ĐT Quảng Bình
Câu 1 (5 điểm):
a) Cho dãy số thực $\left(x_n\right)$ xác định bởi $\left\{\begin{array}{l}x_1=1 \\ x_{n+1}=\sqrt{6+\sqrt{2 x_n+3}}, \forall n \in \mathrm{N}^*\end{array}\right.$. Chứng minh rằng dãy số $\left(x_n\right)$ có giới hạn hữu hạn . Tìm lim $x_n$.
b) Cho dãy số thực $\left(u_n\right)$ xác định bởi $\left\{\begin{array}{l}u_1=2, u_2=1 \\ u_{n+2}=\sqrt{6+\frac{1}{2} \sqrt{3 u_{n+1}+5 u_n+12}}, \forall n \in \mathrm{N}^*\end{array}\right.$. Tìm $\lim u_n$.
Câu 2 (5 điểm): Trên các cạnh $A B, A C$ của tam giác $A B C$ lần lượt lấy hai điểm $C_1, B_1$. Hai đoạn thẳng $B B_1$ và $C C_1$ cắt nhau tại $X$ và hai đoạn thẳng $B_1 C_1$ và $A X$ cắt nhau tại $P$. Đường tròn ngoại tiếp các tam giác $B X C_1, C X B_1$ cắt nhau tại điểm thứ hai $Y$ và cắt cạnh $B C$ lần lượt tại $D$ và $E$.
a) Giả sử $B_1 C_1 \| B C$ và gọi $H, K$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $Y$ lên $A B$ và $A C$. Chứng minh rằng: $\frac{Y H}{A B}=\frac{Y K}{A C}$.
b) Giả sử $B_1 E$ và $C_1 D$ cắt nhau tại $Q$ và đường thẳng $B_1 D$ cắt đường thẳng $C_1 E$ tại $R$. Chứng minh ba điểm $P, Q$ và $R$ thẳng hàng.
Câu 3 (5 điểm): Cho tập hợp $\mathrm{X}$ có 2020 phần tử. Bạn An chia tập $\mathrm{X}$ thành 2 tập hợp $A$ và $B$ thỏa mãn $|A| B \mid ; A \cap B=\phi$, bằng $k$ cách khác nhau. Tìm giá trị nhỏ nhất của $k$ sao cho với 2 phẩn từ bất kỳ của $\mathrm{X}$, luôn có ít nhất 1 cách trong $\mathrm{k}$ cách chia mà bạn An chia chúng vào 2 tập hợp khác nhau.