Đề chọn đội tuyển HSG Toán 12 năm 2021 – 2022 sở GD&ĐT Bà Rịa – Vũng Tàu
Trong kỳ thi chọn đội tuyển Học sinh giỏi môn Toán lớp 12 năm học 2021 – 2022 do Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Bà Rịa – Vũng Tàu tổ chức, thí sinh đã phải trải qua một đề thi gồm 5 bài toán hình thức tự luận. Đề thi này được thiết kế trong vòng 1 trang giấy, yêu cầu các học sinh phải vận dụng tối đa kiến thức và kỹ năng giải quyết vấn đề của mình trong thời gian 180 phút.
Kỳ thi quan trọng này đã diễn ra vào ngày 24 tháng 11 năm 2021, tạo ra một sân chơi công bằng để các học sinh xuất sắc nhất trong tỉnh có cơ hội tranh tài và được lựa chọn vào đội tuyển Toán học chính thức. Với tính chất khó khăn và thử thách cao, đề thi đã đòi hỏi các thí sinh phải có sự chuẩn bị kỹ lưỡng, tư duy logic và khả năng tính toán nhanh nhạy.
Sự kiện này không chỉ là một cuộc thi đơn thuần mà còn thể hiện tầm quan trọng của việc đào tạo nhân tài trong lĩnh vực Toán học tại địa phương. Những học sinh xuất sắc nhất sẽ được đào tạo bài bản, trở thành những nhà Toán học tương lai, đóng góp cho sự phát triển của ngành Toán và khoa học Việt Nam.
Trân trọng,
Đội ngũ hdgmvietnam.org
Trích dẫn Đề chọn đội tuyển HSG Toán 12 năm 2021 – 2022 sở GD&ĐT Bà Rịa – Vũng Tàu
Bài 1 (4,0 điểm).
a) Cho $P(x)$ và $Q(x)$ là hai đa thức có bậc không quá 2020 và thỏa mãn
$$
x^{2021} \cdot P(x)+(x-2)^{2021} \cdot Q(x)=1, \forall x \in \mathbb{R} \text {. Tính } Q(1) \text {. }
$$
b) Tìm tất cả bộ ba số thực dương $(x, y, z)$ thỏa mãn hai điều kiện:
$$
x y+y z+z x+x y z=4 \text { và } \sqrt{2(4-x y)}+\sqrt{5(4-y z)}+\sqrt{10(4-z x)}=12 \text {. }
$$
Bài 2 (3,0 điểm). Cho dãy số $\left(x_n\right)$ xác định bởi $x_1=0, x_2=1$ và $x_{n+2}=\frac{x_n+1}{x_{n+1}+x_n+2}, \forall n \in \mathbb{N}^*$.
Chứng minh dãy số $\left(x_n\right)$ có giới hạn hữu hạn và tính giới hạn đó.
Bài 3 (5 điểm). Cho tam giác $A B C$ nhọn, không cân, nội tiếp đường tròn tâm $O$ và có các đường cao $A D, B E, C F$ cắt nhau tại $H$. Gọi $O_1$ là điểm đối xứng của $O$ qua đường thẳng $B C$. $A O_1$ cắt $B C$ tại $L, D E$ cắt $H C$ tại $M, D F$ cắt $H B$ tại $N$.
a) Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác $D M N$ và đường tròn đường kính $A L$ tiếp xúc nhau.
b) Tiếp tuyến tại $D$ của đường tròn đường kính $A L$ cắt $E F$ tại $K$. Chứng minh $K H=K D$.
