Đề chọn đội tuyển HSG Toán 12 năm 2020 – 2021 sở GD&ĐT Phú Thọ (Ngày 1)
Vào một ngày thu đẹp trời tại tỉnh Phú Thọ, các tài năng trẻ đã được thử thách trong kỳ thi chọn đội tuyển học sinh giỏi Quốc gia lớp 12 môn Toán năm học 2020 – 2021. Sự kiện quan trọng này được tổ chức bởi Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Phú Thọ vào Thứ Năm, ngày 24 tháng 9 năm 2020, đánh dấu ngày thi đầu tiên của kỳ thi.
Đề thi chọn đội tuyển gồm 04 bài toán tự luận, được trình bày trên một trang giấy duy nhất. Các thí sinh phải vật lộn với những câu hỏi khó khăn này trong vòng 180 phút, không kể thời gian giám thị phát đề và chuẩn bị. Đây là một thử thách đáng gờm, đòi hỏi sự kiên trì, tập trung và kiến thức sâu rộng từ các học sinh.
Kỳ thi này không chỉ là một cuộc tranh tài về trí tuệ mà còn là cơ hội để các tài năng trẻ được khám phá và ghi nhận. Những học sinh xuất sắc nhất sẽ được lựa chọn để đại diện cho tỉnh Phú Thọ tại kỳ thi học sinh giỏi Quốc gia, nơi họ sẽ cạnh tranh với những tài năng xuất sắc nhất trên toàn quốc.
Trích dẫn Đề chọn đội tuyển HSG Toán 12 năm 2020 – 2021 sở GD&ĐT Phú Thọ (Ngày 1)
Bài 1. (5,0 điểm)
Cho $a, b \in \mathbb{R}, a \neq b$. Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{l}3 x+z=2 y+(a+b) \\ 3 x^2+3 x z=y^2+2(a+b) y+a b \\ x^3+3 x^2 z=y^2(a+b)+2 y a b\end{array}\right.$.
Bài 2. (5,0 điểm)
Cho dãy số thực dương $\left(a_n\right)_{n \geq 1}$ thỏa mãn điều kiện: $a_1+a_2+\ldots+a_n+a_{n+1}+a_{n+2}<4 a_{n+1}, \forall n \in \mathbb{N}^*$.
Chứng minh rằng $a_1+a_2+\ldots+a_n \leq a_{n+1}, \forall n \in \mathbb{N}^*$.
Bài 3. (5,0 điểm)
Giả sử $O, I$ lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác $A B C$ với bán kính $R, r$ tương ứng. Gọi $P$ là điểm chính giữa cung $\overparen{B A C}, Q P$ là đường kính của $(O), D$ là giao điểm của $P I$ và $B C, F$ là giao điểm của đường tròn ngoại tiếp tam giác $A I D$ với đường thẳng $P A$. Lấy $E$ trên tia $D P$ sao cho $D E=D Q$.
a) Chứng minh rằng $\widehat{I D F}=90^{\circ}$.
b) Giả sử $\widehat{A E F}=\widehat{A P E}$, chứng minh rằng $\sin ^2 \widehat{B A C}=\frac{2 r}{R}$.
