Đề chọn đội tuyển HSG Toán 12 năm 2019 – 2020 trường Lê Quý Đôn – Hà Nội
Trong bối cảnh giáo dục ngày càng đòi hỏi sự xuất sắc và nỗ lực không ngừng, trường Trung học Phổ thông Lê Quý Đôn, quận Đống Đa, Hà Nội đã tổ chức một sự kiện quan trọng vào chiều thứ Ba, ngày 27 tháng 08 năm 2019. Đó chính là kỳ thi khảo sát chất lượng môn Toán nhằm tuyển chọn các học sinh xuất sắc vào đội tuyển học sinh giỏi Toán 12 của nhà trường cho năm học 2019 – 2020.
Đề thi khảo sát này gồm 01 trang với 05 bài toán dạng tự luận, yêu cầu các thí sinh phải vận dụng kiến thức một cách sâu rộng và linh hoạt. Thời gian làm bài được quy định là 180 phút, tạo ra một môi trường thử thách đầy căng thẳng và gay cấn. Nội dung đề thi bám sát chương trình Toán lớp 10, lớp 11 và phần kiến thức Toán 12 đã được học, đảm bảo tính khách quan và công bằng cho tất cả các thí sinh.
Kỳ thi này không chỉ đơn thuần là một cuộc thi kiểm tra kiến thức, mà còn là một cơ hội để các em học sinh rèn luyện tính kiên trì, sự tập trung và khả năng giải quyết vấn đề. Những kỹ năng này sẽ là nền tảng vững chắc cho sự phát triển trong tương lai của các em, bất kể con đường nào các em lựa chọn.
Với sự tổ chức chu đáo và chuyên nghiệp, kỳ thi khảo sát chất lượng môn Toán tuyển chọn đội tuyển học sinh giỏi Toán 12 trường THPT Lê Quý Đôn đã tạo ra một sân chơi lành mạnh, công bằng và thử thách cho các tài năng trẻ trong lĩnh vực Toán học. Sự kiện này một lần nữa khẳng định cam kết của nhà trường trong việc đào tạo và phát triển những tài năng xuất sắc cho tương lai đất nước.
Trích dẫn Đề chọn đội tuyển HSG Toán 12 năm 2019 – 2020 trường Lê Quý Đôn – Hà Nội
Câu 1 (4 điểm).
Tìm $m$ để đồ thị hàm số $y=x^3-3 x^2+m x+2-m$ cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt $A, B, C$ sao cho tổng hệ số góc của các tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại các điểm $A, B, C$ bằng 3 .
Câu 2 (6 điểm).
a. Giải phương trình: $2 \sin 2 x+\cos 2 x+2=\sqrt{2}(\sin 2 x \cdot \cos x+\sin x+2 \cos x)$.
b. Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{l}x^3+(y+2) x^2+2 x y=1 \\ x^2+3 x+y+2=0\end{array}\right.$.
Câu 3 (4 điểm).
Cho dãy số $\left(u_n\right)$ xác định bởi $\left\{\begin{array}{l}u_1=\frac{2020}{2019} \\ 2 u_{n+1}=u_n^2+2 u_n\end{array}, n \in \mathbb{N}^*\right.$.
Đặt $S_n=\frac{1}{u_1+2}+\frac{1}{u_2+2}+\ldots+\frac{1}{u_n+2}$. Tính $\lim S_n$.
Câu 4 (4 điểm).
Cho hình chóp tam giác đều $S . A B C$ có cạnh đáy bằng 1 . Gọi $M, N$ là hai điểm thay đổi lần lượt thuộc các cạnh $A B, A C$ sao cho mặt phẳng $(S M N)$ luôn vuông góc với mặt phẳng $(A B C)$. Đặt $A M=x, A N=y$.
a. Chứng minh rằng $x+y=3 x y$.
b. Tìm $x, y$ để $\triangle S M N$ có diện tích bé nhất, lớn nhất.
