Đề chọn đội tuyển HSG QG môn Toán năm 2022 trường chuyên Hùng Vương – Bình Dương
Để lựa chọn những học sinh xuất sắc nhất tham gia đội tuyển học sinh giỏi Quốc gia môn Toán, trường THPT chuyên Hùng Vương – Bình Dương đã tổ chức một kỳ thi khắt khe trong năm học 2021 – 2022. Đề thi gồm 7 bài toán tự luận, được chia thành 2 trang, yêu cầu các thí sinh phải vận dụng tối đa kiến thức và tư duy logic để giải quyết.
Kỳ thi diễn ra trong vòng hai ngày, tạo ra một sân chơi công bằng và thử thách sức bền cho các học sinh. Những bài toán được thiết kế một cách tinh tế, đòi hỏi sự nỗ lực và kiên trì cao độ từ các thí sinh. Chỉ những học sinh thực sự xuất sắc, với khả năng tư duy phân tích và logic vững vàng mới có thể vượt qua được thử thách này.
Đây là cơ hội để các tài năng trẻ được phát hiện và đào tạo bài bản, góp phần nâng cao chất lượng giáo dục toán học tại Việt Nam. Kỳ thi này không chỉ là một cuộc tranh tài về kiến thức, mà còn là một bài kiểm tra về sự kiên cường và đam mê của các học sinh dành cho môn Toán.
Trân trọng,
Đội ngũ hdgmvietnam.org
Trích dẫn Đề chọn đội tuyển HSG QG môn Toán năm 2022 trường chuyên Hùng Vương – Bình Dương
Câu 1: (5 điểm).
Chứng minh rằng không tồn tại dãy số thực $\left(x_n\right)$ thỏa mãn $x_1=2$ và
$$
\frac{2 x_n^2+2}{x_n+3}<x_{n+1} \leq \frac{2 x_n+2}{x_n+3}+2021
$$
với mọi số nguyên dương $n=1,2,3, \ldots$
Câu 2: (5 điểm).
Với $k$ là tham số thực, xét hàm số $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn điều kiện
$$
2 f(k x y+f(x+y))=x f(y)+y f(x) \text { với mọi } x, y \in \mathbb{R} \text {. }
$$
a) Giả sử tồn tại một hàm số $f$ thỏa mãn điều kiện trên mà $f(0) \neq 0$, xác định $k$.
b) Với $k=-\frac{1}{2}$, chứng minh rằng $f(-f(2))=f(2)$.
Câu 3: (5 điểm).
Cho tam giác $A B C$ nhọn, không cân có các đường cao $B E, C F$ cắt nhau tại $H$. Lấy điểm $X$ trên đường thẳng $B H$ và điểm $Y$ trên đường thẳng $C H$ sao cho tứ giác $A X H Y$ là hình bình hành. Gọi $R$ là giao điểm của các đường thẳng $X Y, E F$.
a) Chứng minh rằng $A R$ song song với $B C$.
b) Chứng minh rằng $A H$ là trục đẳng phương của đường tròn ngoại tiếp tam giác $B H Y$ và tam giác $C H X$.
