Đề chọn đội tuyển HSG môn Toán năm 2022 – 2023 sở GD&ĐT Đắk Nông
Kính gửi quý thầy cô và các em học sinh lớp 12 đầy nhiệt huyết,
Đội ngũ hdgmvietnam.org xin được mang đến cho quý vị một “cuộc đua” trí tuệ đầy gay cấn – đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi môn Toán năm học 2022 – 2023 của sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Đắk Nông. Đây chắc chắn sẽ là một “chặng đua” đầy thử thách và kịch tính cho những “tay đua” đam mê Toán học.
Hãy “khởi động động cơ”, “siết chặt dây an toàn” và sẵn sàng “nhấn ga” để bước vào một “hành trình” tri thức đầy hứng khởi. Chúng tôi tin rằng, với sự “tăng tốc” không ngừng và niềm đam mê Toán học, các em sẽ “về đích” với những thành tích ấn tượng và gặt hái nhiều “chiến thắng” trong “cuộc đua” này.
Điểm đặc biệt của “cuộc đua” này là việc tuyển chọn đội tuyển học sinh giỏi môn Toán. Đây sẽ là một “thử thách tốc độ” đầy hấp dẫn, đòi hỏi sự “bứt phá” và kỹ năng “lái xe” đỉnh cao của các em.
Hãy coi đây như một cơ hội để các em thử sức, khám phá “tốc độ” và “sức bền” của bản thân, trở thành những “tay đua” Toán học đầy bản lĩnh. Chúng tôi tin rằng, đề thi này sẽ là một “cuộc đua” bổ ích và lý thú, giúp các em “rèn luyện” kỹ năng và nâng cao trình độ giải Toán.
Chúc quý thầy cô và các em học sinh luôn giữ vững “tinh thần tốc độ”, không ngừng “tăng tốc” và “bứt phá” trên “đường đua” Toán học đầy màu sắc.
Trân trọng,
Đội ngũ hdgmvietnam.org
Trích dẫn Đề chọn đội tuyển HSG môn Toán năm 2022 – 2023 sở GD&ĐT Đắk Nông
Bài 1. (4,0 điểm)
Cho phương trình $a x^3+27 x^2+12 x+2022=0$ có 3 nghiệm thực phân biệt. Hỏi phương trình sau có bao nhiêu nghiệm thực:
$$
4\left(a x^3+27 x^2+12 x+2022\right)(3 a x+27)=\left(3 a x^2+54 x+12\right)^2, a \neq 0
$$
Bài 2. (8,0 điểm)
1) Giải phương trình $\sqrt[3]{8 x+5}+\sqrt[3]{9 x-x^2+15}+\sqrt[3]{x^2-17 x+7}=3,(x \in \mathbb{R})$
2) Giải hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}x+\sqrt{x^2-2 x+2}=3^{y-1}+1 \\ y+\sqrt{y^2-2 y+2}=3^{x-1}+1\end{array}\right.$
Bài 3. (4,0 điểm)
Cho dãy số $\left\{x_n\right\}_{n=1}^{+\infty}$ như sau: $x_1=\frac{2023}{6}$ và $\frac{x_1}{1}+\frac{x_2}{2}+\ldots+\frac{x_n}{n}=\frac{n+1}{2} x_n, \forall n=1,2, \ldots$
Hãy tìm $\lim _{n \rightarrow+\infty}\left[(\sqrt{2022}+n) x_n\right]$.
