Đề chọn đội tuyển học sinh giỏi Toán năm 2018 – 2019 sở GD và ĐT TP. HCM
Trong nỗ lực không ngừng tìm kiếm và bồi dưỡng những tài năng trẻ xuất sắc trong lĩnh vực Toán học, Sở Giáo dục và Đào tạo Thành phố Hồ Chí Minh đã tổ chức một kỳ thi đặc biệt trong năm học 2018 – 2019. Kỳ thi này, diễn ra trong hai ngày liên tiếp 26 và 27 tháng 9 năm 2018, nhằm mục đích tuyển lựa những học sinh có năng lực vượt trội môn Toán để tham dự kỳ thi học sinh giỏi cấp Quốc gia – một sân chơi lớn, thách thức hơn để các tài năng trẻ thể hiện đẳng cấp của mình.
Mỗi ngày thi, các thí sinh phải đối mặt với một đề thi tự luận gồm 4 bài toán phức tạp, được thiết kế để thách thức và đánh giá khả năng giải quyết vấn đề của các em. Trong khuôn khổ 180 phút, các học sinh phải vận dụng tối đa kiến thức và kỹ năng của mình để giải quyết các bài toán đa dạng và khó khăn, đòi hỏi tư duy logic, sáng tạo và khả năng áp dụng kiến thức vào thực tế.
Các bài toán được biên soạn với mức độ khó tăng dần, buộc các thí sinh phải vượt qua giới hạn của mình và đạt đến trình độ cao hơn trong việc giải quyết vấn đề. Chỉ những học sinh xuất sắc nhất, những tài năng đỉnh cao mới có thể vượt qua thử thách này và giành quyền tham dự kỳ thi học sinh giỏi Toán cấp Quốc gia.
Kỳ thi này không chỉ là một cuộc thi tuyển chọn, mà còn là cơ hội để các tài năng trẻ được khám phá, được thử thách và được định hướng phát triển trong tương lai. Những học sinh đạt điểm cao nhất sẽ được bồi dưỡng và rèn luyện thêm, chuẩn bị cho các kỳ thi cấp cao hơn, mở ra cánh cửa cho một tương lai rực rỡ trong lĩnh vực Toán học.
Trích dẫn Đề chọn đội tuyển học sinh giỏi Toán năm 2018 – 2019 sở GD và ĐT TP. HCM
Bàỉ 1. (5 điểm)
Xét dãy số $\left(a_n\right)$ xác định bởi $a_1=3, a_2=7$ và $a_{n+2}=3 a_{n+1}-a_n$ với $n=1,2,3, \ldots$
a) Chứng minh rằng $\frac{a_1^2}{7}+\frac{a_2^2}{7^2}+\cdots+\frac{a_n^2}{7^n}<\frac{142}{3}, \forall n=1,2,3, \ldots$
b) Với mỗi $n \geq 1$, dặt $b_n=\frac{1}{a_1 a_2}+\frac{1}{a_2 a_3}+\ldots+\frac{1}{a_n a_{n+1}}$.
Bài 2. (5 điểm)
Cho đa thức bậc ba $P(x)=x^3-3 x$.
a) Chứng minh rằng tồn tại các số thực $a, b, c$ đôi một phân biệt sao cho
$$
P(a)=b, P(b)=c, P(c)=a .
$$
b) Giả sử tồn tại 3 bộ số thực $\left(a_1, b_1, c_1\right)$ với $i=\overline{1,3}$ gồm 9 số đôi một phân biệt sao cho $P\left(a_i\right)=b_i, P\left(b_1\right)=c_i, P\left(c_1\right)=a_1$ với $i=\overline{1,3}$. Đặt $S_1=a_1+b_i+c_i$ với $i=\overline{1,3}$. Chứng minh rằng $S_1^2+S_2^2+S_3^2 \neq S_1 S_2+S_2 S_3+S_3 S_1$.
Bài 3. (5 điểm)
Cho $A B$ là một dây cố định khác đường kính của đường tròn $(O)$ cố định. Gọi $M$ là trung điểm của cung nhỏ $A B$. Xét đường tròn $\left(O^{\prime}\right)$ thay đổi tiếp xúc với đoạn thẳng $A B$ và tiếp xúc trong với $(O)$ tại một điểm thuộc cung lớn $A B$ ( $O^{\prime}$ khác phía với $M$ so với đường thả̉ng $A B$ ). Các đường thẳng qua $M$ vuông góc với $O^{\prime} A, O^{\prime} B$ cắt đoạn thẳng $A B$ lần lượt tại các điểm $C, D$.
a) Chứng minh rằng $A B=2 C D$.
b) Gọi $T$ là một điểm thuộc $\left(O^{\prime}\right)$ sao cho $\widehat{A T B}=90^{\circ}$. Giả sử tiếp tuyến của $\left(O^{\prime}\right)$ tại $T$ cắt đoạn thẳng $A B$ tại $N$ và đường thẳng $M N$ cắt $(O)$ tại $K$ khác $M$. Vẽ đường tròn qua $M, K$ và tiếp xúc ngoài với $\left(O^{\prime}\right)$ tại $S$. Chứng minh rằng điểm $S$ luôn di động trên một đường tròn cố định khi $\left(O^{\prime}\right)$ thay đổi.
