Đề chọn đội tuyển dự thi HSG Quốc gia năm 2018 – 2019 môn Toán sở GD và ĐT KonTum
Trong nỗ lực tìm kiếm và đào tạo những tài năng trẻ xuất sắc trong lĩnh vực Toán học, Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Kon Tum đã tổ chức một kỳ thi học sinh giỏi cấp tỉnh đặc biệt. Mục đích chính của kỳ thi này là lựa chọn những học sinh ưu tú nhất để đại diện cho tỉnh Kon Tum tham gia Kỳ thi Học sinh Giỏi Quốc gia môn Toán năm học 2018 – 2019.
Đề thi được biên soạn theo hình thức tự luận, bao gồm 7 câu hỏi và bài tập khó khăn, yêu cầu các thí sinh vận dụng kiến thức và tư duy logic để giải quyết. Thang điểm tối đa của kỳ thi là 20 điểm, cho thấy mức độ thách thức và khó khăn của đề thi. Kỳ thi được tổ chức vào ngày 18 tháng 8 năm 2018, tạo cơ hội cho các học sinh thể hiện năng lực của mình.
Đáng chú ý, đề thi được cung cấp lời giải chi tiết, giúp các giám khảo đánh giá một cách chính xác và công bằng năng lực của các thí sinh. Điều này cũng tạo điều kiện cho các học sinh có thể học hỏi và rút ra bài học quý giá từ quá trình thi cử, giúp họ phát triển kỹ năng giải quyết vấn đề và tư duy logic.
Cuộc thi tuyển chọn tài năng Toán học này không chỉ là một sân chơi để các học sinh thể hiện kiến thức và kỹ năng của mình, mà còn là cơ hội để tỉnh Kon Tum tìm kiếm những tài năng xuất sắc, đại diện cho vùng đất này trong cuộc đua tài năng toàn quốc. Nó thể hiện nỗ lực và cam kết của Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Kon Tum trong việc phát triển và nâng cao chất lượng giáo dục, đồng thời khuyến khích và nuôi dưỡng tài năng trẻ trong lĩnh vực Toán học.
Trích dẫn Đề chọn đội tuyển dự thi HSG Quốc gia năm 2018 – 2019 môn Toán sở GD và ĐT KonTum
Câu 1. (3,0 điểm) Giải hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}\sqrt{x-1}+\sqrt{x+1}=\sqrt{y-1}+\sqrt{y+1} \\ x^2+x+12 \sqrt{y+1}=36\end{array}\right.$.
Câu 2. (3,0 điểm) Cho tam giác $A B C$ vuông tại $A$, đặt $B C=a, A C=b, A B=c$. Cho biết $a$, $\sqrt{\frac{2}{3}} b, c$ theo thứ tự đó lập thành cấp số nhân. Tính $B, C$.
Câu 3. (2,0 điểm ) Cho dãy số $\left(u_n\right)$ được xác định bởi: $\left\{\begin{array}{l}u_1=1, u_2=3 \\ u_{n+2}+u_n=2\left(u_{n+1}+1\right), n \in \mathbb{N}^*\end{array}\right.$. Tính $\lim _{n \rightarrow+\infty} \frac{u_n}{n^2}$
Câu 4. (3,0 điểm) Có 20 cây giống trong đó có 2 cây xoài, 2 cây mít, 2 cây ổi, 2 cây bơ, 2 cây bưởi và 10 loại cây khác 5 loại trên đồng thời đôi một khác loại nhau. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 5 cây để trồng trong một khu vườn sao cho không có hai cây nào thuộc cùng một loại.
Câu 5. (5,0 điểm) Cho tam giác $A B C(A B>A C)$ là tam giác nhọn nội tiếp đường tròn $(O)$, $H$ là trực tâm tam giác. Gọi $J$ là trung điểm của $B C$. Gọi $D$ là điểm đối xứng với $A$ qua $O$.
1) (3,0 điểm) Gọi $M, N, P$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $D$ lên $B C, C H, B H$. Chứng minh rằng tứ giác $P J M N$ nội tiếp.
2) (2,0 điểm) Cho biết $\widehat{B A C}=60^{\circ}$, gọi $I$ là tâm đường tròn nội tiếp. Chứng minh rằng $2 \widehat{A H I}=3 \widehat{A B C}$.
Câu 6. (2,0 điểm) Tìm tất cả các số nguyên tố $a$ thỏa mãn $8 a^2+1$ cũng là số nguyên tố.
Câu 7. (2,0 điểm) Cho $a, b, c$ là các số thực thỏa mãn điều kiện $3 a^2+2 b^2+c^2=6$. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=2(a+b+c)-a b c$.
