Đề chọn đội tuyển dự thi HSG Quốc gia 2021 môn Toán sở GD&ĐT Đồng Tháp
Trong một ngày hè nóng nực tháng 7 năm 2020, Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Đồng Tháp đã tổ chức một sự kiện quan trọng – kỳ thi chọn đội tuyển học sinh giỏi môn Toán dự thi cấp Quốc gia năm 2021. Đây là cơ hội để các tài năng trẻ trong tỉnh thể hiện khả năng và nỗ lực của mình, cạnh tranh để giành suất tham dự kỳ thi danh giá cấp quốc gia.
Đề thi chọn đội tuyển gồm hai trang với năm bài toán tự luận, yêu cầu các thí sinh phải vận dụng tối đa kiến thức và kỹ năng giải quyết vấn đề. Thời gian làm bài kéo dài 180 phút, tạo ra một thử thách đầy cam go và căng thẳng cho các học sinh tham gia. Không khí trong phòng thi chắc hẳn đã trở nên nghiêm túc và tập trung cao độ khi các em học sinh cố gắng hết sức để hoàn thành bài thi một cách xuất sắc nhất.
Kỳ thi chọn đội tuyển này không chỉ là một cuộc tranh tài về trí tuệ mà còn thể hiện sự nỗ lực và quyết tâm của các em học sinh trong việc theo đuổi con đường học vấn. Những ai xuất sắc vượt qua kỳ thi này sẽ được vinh dự đại diện cho tỉnh Đồng Tháp tham gia kỳ thi học sinh giỏi Toán cấp Quốc gia năm 2021, tiếp tục thử thách bản thân và khẳng định tài năng của mình trên một sân chơi lớn hơn.
Trích dẫn Đề chọn đội tuyển dự thi HSG Quốc gia 2021 môn Toán sở GD&ĐT Đồng Tháp
Câu 1. (5,0 điểm)
Với mỗi số nguyên dương $n \geq 2$, xét số thực $u_n>1$ sao cho phương trình $\left[u_n x\right]=x$ có đúng $n$ nghiệm nguyên (theo ẩn $x$ và $\left[u_n x\right]$ là phần nguyên của $u_n x$ ).
1. Chứng minh rằng $\left[u_n\right]=1, \forall n \in \mathbb{N}, n \geq 2$.
2. Với mỗi cách xác định của dãy $\left(u_n\right)$ thỏa điều kiện trên. Chứng minh rằng dãy $\left(u_n\right)$ luôn có giới hạn và tìm giới hạn ấy.
Câu 2. (5,0 điểm)
1. Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{l}(x+1)(y+1)(z+1)=5 \\ (\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z})^2=x+6\end{array}\right.$.
2. Xét số $T=3^n-2^n$, trong đó $n$ là số nguyên dương, $n \geq 2$. Chứng minh rằng:
a) Không tồn tại $n$ để $T$ là bình phương của một số nguyên tố.
b) Nếu $T$ là lập phương của một số nguyên tố thì $n$ là một số nguyên tố.
Câu 3. (3,0 điểm)
Với mỗi $m \in \mathbb{N}^*$ ta kí hiệu $\alpha(2 m)=(m!)^2, \alpha(2 m+1)=(m!) \cdot((m+1)!)$. Cho đa thức $p(x)$ hệ số nguyên, có bậc lớn hơn hoặc bằng $k\left(k \in \mathbb{N}^*\right)$ và có ít nhất $k$ nghiệm nguyên phân biệt. Xét số nguyên $n(n \neq 0)$ sao cho đa thức $q(x)=p(x)-n$ có ít nhất một nghiệm nguyên. Chứng minh rằng $|n| \geq \alpha(k)$.