Đề chọn đội tuyển dự thi HSG Quốc gia 2020 môn Toán sở GD&ĐT Bắc Ninh
Trong nỗ lực tìm kiếm và bồi dưỡng những tài năng trẻ xuất sắc trong lĩnh vực Toán học, Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Bắc Ninh đã tổ chức kỳ thi chọn đội tuyển dự thi Học sinh giỏi Quốc gia môn Toán cho năm học 2019 – 2020. Kỳ thi này diễn ra trong hai ngày liên tiếp, 24/09/2019 và 25/09/2019, nhằm tạo cơ hội công bằng cho các thí sinh thể hiện toàn diện năng lực của mình.
Đề thi chọn đội tuyển bao gồm tổng cộng 7 bài toán khó, đòi hỏi các thí sinh phải vận dụng kiến thức sâu rộng và tư duy logic vượt trội. Mỗi ngày thi, các thí sinh được dành 180 phút để giải quyết các bài toán phức tạp, thách thức khả năng phân tích, suy luận và áp dụng các nguyên lý toán học vào các tình huống thực tế.
Để đảm bảo tính công bằng và minh bạch, đề thi được cung cấp kèm theo lời giải chi tiết và hướng dẫn chấm điểm. Điều này không chỉ giúp các thí sinh hiểu rõ hơn về cách giải quyết các bài toán mà còn cho phép các giáo viên và chuyên gia đánh giá một cách khách quan và chính xác năng lực của các thí sinh.
Bằng việc tổ chức kỳ thi này, Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Bắc Ninh thể hiện cam kết trong việc phát triển và nâng cao chất lượng giáo dục Toán học tại địa phương. Đồng thời, nó cũng tạo cơ hội cho các tài năng trẻ được phát hiện và bồi dưỡng, góp phần thúc đẩy sự phát triển của ngành Toán học tại Việt Nam trong tương lai.
Trích dẫn Đề chọn đội tuyển dự thi HSG Quốc gia 2020 môn Toán sở GD&ĐT Bắc Ninh
Câu 1 (5,0 điểm)
Cho hai dãy số $\left(u_n\right),\left(v_n\right)$ xác định như sau $u_0=a ; v_0=b$ với hằng số thực $a, b$ cho trước thỏa mãn $0<a<b$ và $u_{n+1}=\frac{u_n+v_n}{2}, v_{n+1}=\sqrt{u_{n+1} \cdot v_n}$ với mọi số tự nhiên $n$.
a) Chứng tỏ hai dãy đã cho đều hội tụ và có giới hạn bằng nhau.
b) Tìm giới hạn đó theo $a, b$.
Câu 2 (5,0 điểm)
Cho số nguyên tố $p$. Chứng minh rằng tồn tại vô số số tự nhiên $n$ thỏa mãn điều kiện
$$
2020^{n+2019} \equiv n+2018(\bmod p) \text {. }
$$
Câu 3 (5,0 điểm)
Cho tam giác nhọn $A B C$ không cân. Gọi $H, O$ lần lượt là trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $A B C ; D, E$ lần lượt là chân đường cao hạ từ các đỉnh $A, B$ của tam giác $A B C$. Các đường thẳng $O D$ và $B E$ cắt nhau tại $K$, các đường thẳng $O E$ và $A D$ cắt nhau tại $L$. Gọi $M$ là trung điểm cạnh $A B$. Chứng minh ba điểm $K, L, M$ thẳng hàng khi và chỉ khi bốn điểm $C, D, O, H$ cùng nằm trên một đường tròn.
Câu 4 (5,0 điểm)
Tìm tất cả các đa thức $f(x)$ có hệ số thực và bậc là số tự nhiên lẻ sao cho:
$$
f\left(x^2-1\right)=f^2(x)-1, \forall x \in \mathbb{R} .
$$
