Đề chọn đội tuyển dự HSG Quốc gia 2019 môn Toán sở GD và ĐT Quảng Bình
Trong quá trình chuẩn bị cho kỳ thi Học sinh giỏi Quốc gia năm 2019, Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Quảng Bình đã tổ chức một đợt thi chọn lọc đội tuyển vào ngày 21/08/2018. Đề thi này, được hdgmvietnam.org giới thiệu, bao gồm 4 bài toán tự luận về môn Toán, được thiết kế để thách thức và đánh giá năng lực giải quyết vấn đề của các thí sinh.
Với thời gian làm bài 180 phút, đề thi này đòi hỏi các học sinh phải vận dụng kiến thức toán học một cách sâu rộng và linh hoạt. Các bài toán được trình bày trong một tài liệu duy nhất, gồm 1 trang, nhằm tạo ra một môi trường thi cử công bằng và khách quan.
Đề thi bao gồm các dạng toán đa dạng, từ dãy số và giới hạn của dãy số, đến bài toán hình học phẳng liên quan đến đường tròn, bất đẳng thức, và bài toán chia hết. Sự đa dạng này nhằm mục đích kiểm tra toàn diện kiến thức và kỹ năng của các thí sinh, đồng thời giúp họ chuẩn bị tốt hơn cho kỳ thi Học sinh giỏi Quốc gia sắp tới.
Để hỗ trợ quá trình học tập và rèn luyện, hdgmvietnam.org đã cung cấp lời giải chi tiết cho đề thi này. Điều này sẽ giúp các học sinh có cơ hội tự đánh giá và hiểu sâu hơn về cách giải quyết các vấn đề toán học phức tạp.
Trích dẫn Đề chọn đội tuyển dự HSG Quốc gia 2019 môn Toán sở GD và ĐT Quảng Bình
Câu 2: (5 điểm)
Cho tam giác $A B C$ nhọn $(A B<A C)$ có $H$ là trực tâm, nội tiếp đường tròn $(\mathrm{O}) . B E, C F$ là các đường cao của tam giác $\mathrm{ABC}(E \in A C, F \in A B)$. Đường thẳng $\mathrm{EF}$ cắt $\mathrm{BC}$ tại $\mathrm{G}$, đường thẳng $\mathrm{AG}$ cắt đường tròn $\mathrm{O})$ tại $\mathrm{M}$.
a) Gọi $\mathrm{T}$ là trung điểm của $\mathrm{BC}$. Chứng minh: $G H \perp A T$.
b) Lấy điểm $\mathrm{P}$ nào đó trên tia $\mathrm{BC}(\mathrm{P}$ nằm ngoài đoạn $\mathrm{BC}$ ). Đường tròn $\mathrm{O})$ cắt $\mathrm{AP}$ tại $\mathrm{I}$ và cắt đường tròn đường kính $\mathrm{AP}$ tại $\mathrm{Q}(\mathrm{I}, \mathrm{Q}$ đều khác $\mathrm{A}$ ). $\mathrm{AQ}$ cắt $\mathrm{BC}$ tại $\mathrm{J}$. Chứng minh rằng: đường thẳng $\mathrm{IJ}$ luôn đi qua một điểm cố định.
Câu 3. (5 điểm)
Cho $P(x)=x^n+a_{n-1} x^{n-1}+a_{n-2} x^{n-2}+\ldots+a_1 x+a_0$ là đa thức với hệ số thực, $\mathrm{n}$ là số nguyên dương chẵn và có $n$ nghiệm thực (không nhất thiết phân biệt). Giả sử $y$ là số thực dương thỏa mãn với mọi số thực $t0$.
Chứng minh rằng: $\sqrt[n]{P(0)}-\sqrt[n]{P(y)} \geq y$.
Câu 4. (5 điểm)
Cho 2018 số nguyên dương $a_1, a_2, \ldots, a_{2018}$ và số nguyên $a>1$ sao cho $a$ chia hết cho $a_1 \cdot a_2 \ldots . . a_{2018}$. Chứng minh rằng: $a^{2019}+a-1$ không chia hết cho $\left(a+a_1-1\right)\left(a+a_2-1\right) \ldots\left(a+a_{2018}-1\right)$
