Đề bồi dưỡng HSG Toán 12 năm 2020 – 2021 trường THPT Liễn Sơn – Vĩnh Phúc
Trong quá trình chuẩn bị cho kỳ thi Học sinh giỏi (HSG) Toán 12 cấp tỉnh, trường Trung học phổ thông Liễn Sơn, tỉnh Vĩnh Phúc đã tổ chức một đợt thi sát hạch nội bộ nhằm đánh giá năng lực của các học sinh trong đội tuyển HSG Toán 12 của nhà trường. Đề thi bồi dưỡng này được thiết kế với 10 bài toán tự luận, yêu cầu các em phải vận dụng kiến thức và tư duy logic để giải quyết các vấn đề phức tạp.
Thời gian làm bài thi được quy định là 180 phút, tương đương với 3 tiếng đồng hồ, cho thấy mức độ khó khăn và sự thử thách mà các học sinh phải đối mặt. Đây không chỉ là một bài kiểm tra kiến thức, mà còn là một cơ hội để các em rèn luyện khả năng tư duy, sáng tạo và giải quyết vấn đề trong điều kiện áp lực về thời gian.
Kỳ thi sát hạch này đóng vai trò quan trọng trong việc đánh giá chất lượng đội tuyển HSG Toán 12 của trường, giúp các giáo viên nhận diện những điểm mạnh và điểm yếu của các học sinh, từ đó có thể điều chỉnh phương pháp dạy học và đưa ra những lời khuyên phù hợp để các em có thể chuẩn bị tốt nhất cho kỳ thi HSG Toán 12 cấp tỉnh sắp tới.
Trích dẫn Đề bồi dưỡng HSG Toán 12 năm 2020 – 2021 trường THPT Liễn Sơn – Vĩnh Phúc
Câu 1. Cho hàm số $y=-x^3+(4 m-1) x^2+\left(m^2-4\right) x+1,(m$ là tham số $)$.
a. Tìm các giá trị của $m$ để hàm số đã cho đạt cực đại tại $x=1$.
b. Tìm các giá trị của $m$ để giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên đoạn $[-2 ;-1]$ bằng 9 .
Câu 2. Cho hàm số $y=\frac{2 x-3}{x-1}$ có đồ thị $(C)$. Cho biết $I(1 ; 2) ; d_1: x=1 ; d_2: y=2$. Gọi $d$ là tiếp tuyến bất kỳ của $(C) ; A, B$ lần lượt là giao điểm của $d$ với $d_1, d_2$. Chứng minh tích IA.IB không đổi.
Câu 3. Giải phương trình : $\sin 2 x-\cos 2 x+3 \sin x-\cos x-1=0$.
Câu 4. Giải phương trình : $2 x+1+x \sqrt{x^2+2}+(x+1) \sqrt{x^2+2 x+3}=0$.
Câu 5. Giải hệ phương trình : $\left\{\begin{array}{l}x^3-y^3+3 y^2+x-4 y+2=0 \\ x^3+x-3=2 \sqrt{x+2}+y\end{array}\right.$
Câu 6. Một tổ gồm 8 học sinh là An, Bảo, Chuyên, Dũng, Em, Fin, Giang, Hùng sẽ cùng đi trên một chuyến bay để dự đợt học tập và trải nghiệm. Đại lý dành cho tổ 8 vé máy bay có số ghế là 18A, 18B, 18C, 18D, 18E, 18F, 18G, 18H. Mỗi học sinh chọn ngẫu nhiên một vé. Tính xác suất để có đúng 4 học sinh trong tổ mà mỗi bạn chọn được một vé có chữ của số ghế trùng với chữ cái đầu tiên của tên mình.
Câu 7. Cho dãy số $\left(u_n\right)$ xác định bởi : $\left\{\begin{array}{l}u_1=2021 \\ u_{n+1}=\frac{1}{2}\left(u_n+\frac{2020}{u_n}\right), \forall n \in \mathbb{N} *\end{array}\right.$
Chứng minh $\left(u_n\right)$ có giới hạn hữu hạn và tính giới hạn đó.
