Đáp Án Và Lời Giải Chi Tiết Đề Thi Tuyển Sinh Đại Học Năm 2013 Môn Toán Khối D
Kỳ thi tuyển sinh đại học năm 2013 môn toán khối D diễn ra vào ngày 4/7/2013, là một trong những môn thi quan trọng nhất đối với thí sinh theo học các ngành khoa học xã hội và nhân văn. Đề thi gồm 9 câu hỏi tự luận với tổng điểm 10, bao gồm các nội dung chính như hàm số, nguyên hàm, tích phân, hình học không gian,… Các câu hỏi có mức độ từ cơ bản đến nâng cao, đòi hỏi thí sinh phải vận dụng tổng hợp kiến thức đã học.
Cùng với kỳ thi tuyển sinh đại học môn toán khối A và khối B, đề thi khối D đóng vai trò then chốt trong việc đánh giá năng lực toán học của thí sinh, quyết định cơ hội trúng tuyển vào các trường đại học hàng đầu. Ngay sau khi kết thúc kỳ thi, Bộ Giáo dục và Đào tạo đã công bố đáp án và thang điểm chính thức, giúp thí sinh tự đánh giá bài làm của mình. Các thí sinh có thể tham khảo đề thi và đáp án môn toán khối D năm 2013 để ôn luyện, chuẩn bị tốt cho kỳ thi tuyển sinh đại học sắp tới. Chúc các bạn đạt kết quả cao trong kỳ thi quan trọng này!
ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2013 MÔN TOÁN KHỐI D
I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu 1 (2,0 điểm). Cho hàm số $y=2 x^3-3 m x^2+(m-1) x+1 \quad$ (1), với $m$ là tham số thực.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi $m=1$.
b) Tìm $m$ để đường thẳng $y=-x+1$ cắt đồ thị hàm số (1) tại ba điểm phân biệt.
Câu 2 (1,0 điểm). Giải phương trình $\sin 3 x+\cos 2 x-\sin x=0$.
Câu 3 (1,0 điểm). Giải phương trình $2 \log _2 x+\log _{\frac{1}{2}}(1-\sqrt{x})=\frac{1}{2} \log _{\sqrt{2}}(x-2 \sqrt{x}+2)$.
Câu 4 (1,0 điểm). Tính tích phân $\quad I=\int_0^1 \frac{(x+1)^2}{x^2+1} \mathrm{~d} x$.
Câu 5 (1,0 điểm). Cho hình chóp $S . A B C D$ có đáy là hình thoi cạnh $a$, cạnh bên $S A$ vuông góc với đáy, $\widehat{B A D}=120^{\circ}, M$ là trung điểm của cạnh $B C$ và $\widehat{S M A}=45^{\circ}$. Tính theo $a$ thể tích của khối chóp $S . A B C D$ và khoảng cách từ điểm $D$ đến mặt phẳng $(S B C)$.
Câu 6 (1,0 điểm). Cho $x, y$ là các số thực dương thỏa mãn điều kiện $x y \leq y-1$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P=\frac{x+y}{\sqrt{x^2-x y+3 y^2}}-\frac{x-2 y}{6(x+y)}$.
II. PHẦN RIÊNG (3,0 điểm): Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc phần B)
A. Theo chương trình Chuẩn
Câu 7.a (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $O x y$, cho tam giác $A B C$ có điểm $M\left(-\frac{9}{2} ; \frac{3}{2}\right)$ là trung điểm của cạnh $A B$, điểm $H(-2 ; 4)$ và điểm $I(-1 ; 1)$ lần lượt là chân đường cao kẻ từ $B$ và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $A B C$. Tìm tọa độ điểm $C$.
Câu 8.a (1,0 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ $O x y z$, cho các điểm $A(-1 ;-1 ;-2), B(0 ; 1 ; 1)$ và mặt phẳng $(P): x+y+z-1=0$. Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của $A$ trên $(P)$. Viết phương trình mặt phẳng đi qua $A, B$ và vuông góc với $(P)$.
Câu 9.a (1,0 điểm). Cho số phức $z$ thỏa mãn điều kiện $(1+i)(z-i)+2 z=2 i$. Tính môđun của số phức $w=\frac{\bar{z}-2 z+1}{z^2}$.
B. Theo chương trình Nâng cao
Câu 7.b (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $O x y$, cho đường tròn $(C):(x-1)^2+(y-1)^2=4$ và đường thẳng $\Delta: y-3=0$. Tam giác $M N P$ có trực tâm trùng với tâm của $(C)$, các đỉnh $N$ và $P$ thuộc $\Delta$, đỉnh $M$ và trung điểm của cạnh $M N$ thuộc $(C)$. Tîm tọa độ điểm $P$.
Câu 8.b (1,0 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ $O x y z$, cho điểm $A(-1 ; 3 ;-2)$ và mặt phẳng $(P): x-2 y-2 z+5=0$. Tính khoảng cách từ $A$ đến $(P)$. Viết phương trình mặt phẳng đi qua $A$ và song song với $(P)$.
Câu 9.b (1,0 điểm). Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $f(x)=\frac{2 x^2-3 x+3}{x+1}$ trên đoạn $[0 ; 2]$.
