Đáp Án Và Lời Giải Chi Tiết Đề Thi Tuyển Sinh Đại Học Năm 2013 Môn Toán Khối B
Kỳ thi tuyển sinh đại học năm 2013 môn toán khối B diễn ra vào ngày 9/7/2013, là một trong những môn thi quan trọng nhất đối với thí sinh theo học các ngành kinh tế, tài chính, ngân hàng. Đề thi gồm 9 câu hỏi tự luận với tổng điểm 10, bao gồm các nội dung chính như hàm số, nguyên hàm, tích phân, hình học không gian,… Các câu hỏi có mức độ từ cơ bản đến nâng cao, đòi hỏi thí sinh phải vận dụng tổng hợp kiến thức đã học.
Cùng với kỳ thi tuyển sinh đại học môn toán khối A và khối D, đề thi khối B đóng vai trò then chốt trong việc đánh giá năng lực toán học của thí sinh, quyết định cơ hội trúng tuyển vào các trường đại học hàng đầu. Ngay sau khi kết thúc kỳ thi, Bộ Giáo dục và Đào tạo đã công bố đáp án và thang điểm chính thức, giúp thí sinh tự đánh giá bài làm của mình. Các thí sinh có thể tham khảo đề thi và đáp án môn toán khối B năm 2013 để ôn luyện, chuẩn bị tốt cho kỳ thi tuyển sinh đại học sắp tới.
ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2013 MÔN TOÁN KHỐI B
I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu 1 (2,0 điểm). Cho hàm số $y=2 x^3-3(m+1) x^2+6 m x \quad$ (1), với $m$ là tham số thực.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi $m=-1$.
b) Tìm $m$ để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực trị $A$ và $B$ sao cho đường thẳng $A B$ vuông góc với đường thẳng $y=x+2$.
Câu 2 (1,0 điểm). Giải phương trình $\sin 5 x+2 \cos ^2 x=1$.
Câu 3 (1,0 điểm). Giải hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}2 x^2+y^2-3 x y+3 x-2 y+1=0 \\ 4 x^2-y^2+x+4=\sqrt{2 x+y}+\sqrt{x+4 y}\end{array}(x, y \in \mathbb{R})\right.$.
Câu 4 (1,0 điểm). Tính tích phân $I=\int_0^1 x \sqrt{2-x^2} \mathrm{~d} x$.
Câu 5 (1,0 điểm). Cho hình chóp $S . A B C D$ có đáy là hình vuông cạnh $a$, mặt bên $S A B$ là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính theo $a$ thể tích của khối chóp $S . A B C D$ và khoảng cách từ điểm $A$ đến mặt phẳng $(S C D)$.
Câu 6 (1,0 điểm). Cho $a, b, c$ là các số thực dương. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
$$
P=\frac{4}{\sqrt{a^2+b^2+c^2+4}}-\frac{9}{(a+b) \sqrt{(a+2 c)(b+2 c)}} .
$$
II. PHẦN RIÊNG (3,0 điểm): Thí sinh chỉ đuợc làm một trong hai phần (phần A hoặc phần B)
A. Theo chương trình Chuẩn
Câu 7.a (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $O x y$, cho hình thang cân $A B C D$ có hai đường chéo vuông góc với nhau và $A D=3 B C$. Đường thẳng $B D$ có phương trình $x+2 y-6=0$ và tam giác $A B D$ có trực tâm là $H(-3 ; 2)$. Tìm tọa độ các đỉnh $C$ và $D$.
Câu 8.a (1,0 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ $O x y z$, cho điểm $A(3 ; 5 ; 0)$ và mặt phẳng $(P): 2 x+3 y-z-7=0$. Viết phương trình đường thẳng đi qua $A$ và vuông góc với $(P)$. Tìm tọa độ điểm đối xứng của $A$ qua $(P)$.
Câu 9.a (1,0 điểm). Có hai chiếc hộp chứa bi. Hộp thứ nhất chứa 4 viên bi đỏ và 3 viên bi trắng, hộp thứ hai chứa 2 viên bi đỏ và 4 viên bi trắng. Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp ra 1 viên bi, tính xác suất để 2 viên bi được lấy ra có cùng màu.
B. Theo chương trình Nâng cao
Câu 7.b (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $O x y$, cho tam giác $A B C$ có chân đường cao hạ từ đỉnh $A$ là $H\left(\frac{17}{5} ;-\frac{1}{5}\right)$, chân đường phân giác trong của góc $A$ là $D(5 ; 3)$ và trung điểm của cạnh $A B$ là $M(0 ; 1)$. Tìm tọa độ đỉnh $C$.
Câu 8.b (1,0 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ $O x y z$, cho các điểm $A(1 ;-1 ; 1), B(-1 ; 2 ; 3)$ và đường thẳng $\Delta: \frac{x+1}{-2}=\frac{y-2}{1}=\frac{z-3}{3}$. Viết phương trình đường thẳng đi qua $A$, vuông góc với hai đường thẳng $A B$ và $\Delta$.
Câu 9.b (1,0 điểm). Giải hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}x^2+2 y=4 x-1 \\ 2 \log _3(x-1)-\log _{\sqrt{3}}(y+1)=0 .\end{array}\right.$
