Đáp Án Và Lời Giải Chi Tiết Đề Thi Tuyển Sinh Đại Học Năm 2012 Môn Toán Khối D
Kỳ thi tuyển sinh đại học năm 2012 môn toán khối D diễn ra vào ngày 9/7/2012, là một trong những môn thi quan trọng để xét tuyển vào các ngành đào tạo thuộc khối D. Đề thi gồm 12 câu hỏi, bao quát các kiến thức toán học trong chương trình THPT, đòi hỏi thí sinh phải vận dụng tổng hợp và linh hoạt.
Cấu trúc đề thi gồm hai phần: phần chung cho tất cả thí sinh (7 điểm) và phần riêng theo chương trình chuẩn hoặc nâng cao (3 điểm). Các câu hỏi đề cập đến nhiều chủ đề như hàm số, giải tích, hình học không gian, số phức… Độ khó của đề được đánh giá ở mức tương đương với đề thi khối A và khối B.
Cùng với kỳ thi tuyển sinh đại học môn toán khối A và khối B diễn ra trước đó, kỳ thi khối D đóng vai trò quan trọng trong việc đánh giá năng lực toán học của thí sinh, là cơ sở để các trường đại học xét tuyển vào các ngành khối D. Để đạt kết quả cao, thí sinh cần có sự chuẩn bị kỹ lưỡng về kiến thức, rèn luyện kỹ năng làm bài và giữ tâm lý ổn định. Các em có thể tham khảo đề thi và đáp án chính thức môn toán khối A, B, D năm 2012 để có định hướng ôn tập hiệu quả cho kỳ thi năm tới.
ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2012 MÔN TOÁN KHỐI D
I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu 1 (2,0 điểm). Cho hàm số $y=\frac{2}{3} x^3-m x^2-2\left(3 m^2-1\right) x+\frac{2}{3}(1), m$ là tham số thực.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi $m=1$.
b) Tìm $m$ để hàm số (1) có hai điểm cực trị $x_1$ và $x_2$ sao cho $x_1 x_2+2\left(x_1+x_2\right)=1$.
Câu 2 (1,0 điểm). Giải phương trình $\sin 3 x+\cos 3 x-\sin x+\cos x=\sqrt{2} \cos 2 x$.
Câu 3 (1,0 điểm). Giải hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}x y+x-2=0 \\ 2 x^3-x^2 y+x^2+y^2-2 x y-y=0\end{array} \quad(x, y \in \mathbb{R})\right.$.
Câu 4 (1,0 điểm). Tính tích phân $I=\int_0^{\frac{\pi}{4}} x(1+\sin 2 x) \mathrm{d} x$.
Câu 5 (1,0 điểm). Cho hình hộp đứng $A B C D \cdot A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$ có đáy là hình vuông, tam giác $A^{\prime} A C$ vuông cân, $A^{\prime} C=a$. Tính thể tích của khối tứ diện $A B B^{\prime} C^{\prime}$ và khoảng cách từ điểm $A$ đến mặt phẳng $\left(B C D^{\prime}\right)$ theo $a$.
Câu 6 (1,0 điểm). Cho các số thực $x, y$ thỏa mãn $(x-4)^2+(y-4)^2+2 x y \leq 32$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $A=x^3+y^3+3(x y-1)(x+y-2)$.
II. PHẦN RIÊNG (3,0 điểm): Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần riêng (phần A hoặc phần B)
A. Theo chương trình Chuẩn
Câu 7.a (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $O x y$, cho hình chữ nhật $A B C D$. Các đường thẳng $A C$ và $A D$ lần lượt có phương trình là $x+3 y=0$ và $x-y+4=0$; đường thẳng $B D$ đi qua điểm $M\left(-\frac{1}{3} ; 1\right)$. Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật $A B C D$.
Câu 8.a (1,0 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ $O x y z$, cho mặt phẳng $(P): 2 x+y-2 z+10=0$ và điểm $I(2 ; 1 ; 3)$. Viết phương trình mặt cầu tâm $I$ và cắt $(P)$ theo một đường tròn có bán kính bằng 4 .
Câu 9.a (1,0 điểm). Cho số phức $z$ thỏa mãn $(2+i) z+\frac{2(1+2 i)}{1+i}=7+8 i$. Tìm môđun của số phức $w=z+1+i$.
B. Theo chương trình Nâng cao
Câu 7.b (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $O x y$, cho đường thẳng $d: 2 x-y+3=0$. Viết phương trình đường tròn có tâm thuộc $d$, cắt trục $O x$ tại $A$ và $B$, cắt trục $O y$ tại $C$ và $D$ sao cho $A B=C D=2$.
Câu 8.b (1,0 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ $O x y z$, cho đường thẳng $d: \frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{-1}=\frac{z}{1}$ và hai điểm $A(1 ;-1 ; 2), B(2 ;-1 ; 0)$. Xác định tọa độ điểm $M$ thuộc $d$ sao cho tam giác $A M B$ vuông tại $M$.
Câu 9.b (1,0 điểm). Giải phương trình $z^2+3(1+i) z+5 i=0$ trên tập hợp các số phức.
