Đáp Án Và Lời Giải Chi Tiết Đề Thi Tuyển Sinh Đại Học Năm 2012 Môn Toán Khối B
Kỳ thi tuyển sinh đại học năm 2012 môn toán khối B diễn ra vào ngày 9/7/2012, là một trong những môn thi quan trọng để xét tuyển vào các ngành đào tạo thuộc khối B. Đề thi gồm 12 câu hỏi, bao quát các kiến thức toán học trong chương trình THPT, đòi hỏi thí sinh phải vận dụng tổng hợp và linh hoạt.
Cấu trúc đề thi gồm hai phần: phần chung cho tất cả thí sinh (7 điểm) và phần riêng theo chương trình chuẩn hoặc nâng cao (3 điểm). Các câu hỏi đề cập đến nhiều chủ đề như hàm số, giải tích, hình học không gian, xác suất thống kê… Độ khó của đề được đánh giá ở mức tương đương với đề thi khối A.
Cùng với kỳ thi tuyển sinh đại học môn toán khối A và khối D diễn ra trước và sau đó, kỳ thi khối B đóng vai trò quan trọng trong việc đánh giá năng lực toán học của thí sinh, là cơ sở để các trường đại học xét tuyển vào các ngành khối B. Để đạt kết quả cao, thí sinh cần có sự chuẩn bị kỹ lưỡng về kiến thức, rèn luyện kỹ năng làm bài và giữ tâm lý ổn định. Các em có thể tham khảo đề thi và đáp án chính thức môn toán khối A, B, D năm 2012 để có định hướng ôn tập hiệu quả cho kỳ thi năm tới.
ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2012 MÔN TOÁN KHỐI B
I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu 1 (2,0 điểm). Cho hàm số $y=x^3-3 m x^2+3 m^3$ (1), $m$ là tham số thực.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi $m=1$.
b) Tìm $m$ để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực trị $A$ và $B$ sao cho tam giác $O A B$ có diện tích bằng 48 .
Câu 2 (1,0 điểm). Giải phương trình $2(\cos x+\sqrt{3} \sin x) \cos x=\cos x-\sqrt{3} \sin x+1$.
Câu 3 (1,0 điểm). Giải bất phương trình $x+1+\sqrt{x^2-4 x+1} \geq 3 \sqrt{x}$.
Câu 4 (1,0 điểm). Tính tích phân $I=\int_0^1 \frac{x^3}{x^4+3 x^2+2} \mathrm{~d} x$.
Câu 5 (1,0 điểm). Cho hình chóp tam giác đều $S . A B C$ với $S A=2 a, A B=a$. Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $A$ trên cạnh $S C$. Chứng minh $S C$ vuông góc với mặt phẳng $(A B H)$. Tính thể tích của khối chóp S.ABH theo $a$.
Câu 6 (1,0 điểm). Cho các số thực $x, y, z$ thỏa mãn các điều kiện $x+y+z=0$ và $x^2+y^2+z^2=1$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P=x^5+y^5+z^5$.
II. PHẦN RIÊNG (3,0 điểm): Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần riêng (phần A hoặc phần B)
A. Theo chương trình Chuẩn
Câu 7.a (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $O x y$, cho các đường tròn $\left(C_1\right): x^2+y^2=4$, $\left(C_2\right): x^2+y^2-12 x+18=0$ và đường thẳng $d: x-y-4=0$. Viết phương trình đường tròn có tâm thuộc $\left(C_2\right)$, tiếp xúc với $d$ và cắt $\left(C_1\right)$ tại hai điểm phân biệt $A$ và $B$ sao cho $A B$ vuông góc với $d$.
Câu 8.a (1,0 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ $O x y z$, cho đường thẳng $d: \frac{x-1}{2}=\frac{y}{1}=\frac{z}{-2}$ và hai điểm $A(2 ; 1 ; 0), B(-2 ; 3 ; 2)$. Viết phương trình mặt cầu đi qua $A, B$ và có tâm thuộc đường thẳng $d$.
Câu 9.a (1,0 điểm). Trong một lớp học gồm có 15 học sinh nam và 10 học sinh nữ. Giáo viên gọi ngẫu nhiên 4 học sinh lên bảng giải bài tập. Tính xác suất để 4 học sinh được gọi có cả nam và nữ.
B. Theo chương trình Nâng cao
Câu 7.b (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $O x y$, cho hình thoi $A B C D$ có $A C=2 B D$ và đường tròn tiếp xúc với các cạnh của hình thoi có phương trình $x^2+y^2=4$. Viết phương trình chính tắc của elip $(E)$ đi qua các đỉnh $A, B, C, D$ của hình thoi. Biết $A$ thuộc $O x$.
Câu 8.b (1,0 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ $O x y z$, cho $A(0 ; 0 ; 3), M(1 ; 2 ; 0)$. Viết phương trình mặt phẳng $(P)$ qua $A$ và cắt các trục $O x, O y$ lần lượt tại $B, C$ sao cho tam giác $A B C$ có trọng tâm thuộc đường thẳng $A M$.
Câu 9.b (1,0 điểm). Gọi $z_1$ và $z_2$ là hai nghiệm phức của phương trình $z^2-2 \sqrt{3} i z-4=0$. Viết dạng lượng giác của $z_1$ và $z_2$.
