Đáp Án Và Lời Giải Chi Tiết Đề Thi Tuyển Sinh Đại Học Năm 2012 Môn Toán Khối A
Kỳ thi tuyển sinh đại học năm 2012 môn toán khối A diễn ra vào ngày 4/7/2012, thu hút sự quan tâm của đông đảo thí sinh và phụ huynh trên cả nước. Đề thi gồm 12 câu hỏi, bao quát các kiến thức quan trọng trong chương trình toán THPT, đòi hỏi thí sinh phải vận dụng tổng hợp, linh hoạt các kiến thức đã học.
Cấu trúc đề thi gồm hai phần: phần chung cho tất cả thí sinh (7 điểm) và phần riêng theo chương trình chuẩn hoặc nâng cao (3 điểm). Các câu hỏi đề cập đến nhiều chủ đề như hàm số, nguyên hàm – tích phân, hình học không gian, số phức… Độ khó của đề được đánh giá ở mức trung bình so với các năm trước.
Cùng với kỳ thi tuyển sinh đại học môn toán khối B và khối D diễn ra sau đó, kỳ thi khối A đóng vai trò quan trọng trong việc đánh giá năng lực toán học của thí sinh, là cơ sở để các trường đại học xét tuyển. Để đạt kết quả cao, thí sinh cần có sự chuẩn bị kỹ lưỡng về kiến thức, kỹ năng làm bài và tâm lý thi cử. Các em có thể tham khảo đề thi và đáp án chính thức môn toán khối A, B, D năm 2012 để có định hướng ôn tập phù hợp cho kỳ thi năm tới.
ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2012 MÔN TOÁN KHỐI A
I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu 1 (2,0 điểm). Cho hàm số $y=x^4-2(m+1) x^2+m^2(1)$, với $m$ là tham số thực.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi $m=0$.
b) Tìm $m$ để đồ thị của hàm số (1) có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh của một tam giác vuông.
Câu 2 (1,0 điểm). Giải phương trình $\sqrt{3} \sin 2 x+\cos 2 x=2 \cos x-1$.
Câu $3\left(1,0\right.$ điểm). Giải hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}x^3-3 x^2-9 x+22=y^3+3 y^2-9 y \\ x^2+y^2-x+y=\frac{1}{2}\end{array} \quad(x, y \in \mathbb{R})\right.$.
Câu 4 (1,0 điểm). Tính tích phân $I=\int_1^3 \frac{1+\ln (x+1)}{x^2} \mathrm{~d} x$.
Câu 5 (1,0 điểm). Cho hình chóp $S . A B C$ có đáy là tam giác đều cạnh $a$. Hình chiếu vuông góc của $S$ trên mặt phẳng $(A B C)$ là điểm $H$ thuộc cạnh $A B$ sao cho $H A=2 H B$. Góc giữa đường thẳng $S C$ và mặt phẳng $(A B C)$ bằng $60^{\circ}$. Tính thể tích của khối chóp $S . A B C$ và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $S A$ và $B C$ theo $a$.
Câu 6(1,0 điểm). Cho các số thực $x, y, z$ thỏa mãn điều kiện $x+y+z=0$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
$$
P=3^{|x-y|}+3^{|y-z|}+3^{|z-x|}-\sqrt{6 x^2+6 y^2+6 z^2} .
$$
II. PHẦN RIÊNG (3,0 điểm): Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần riêng (phần A hoặc phần B)
A. Theo chương trình Chuẩn
Câu 7.a (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $O x y$, cho hình vuông $A B C D$. Gọi $M$ là trung điểm của cạnh $B C, N$ là điểm trên cạnh $C D$ sao cho $C N=2 N D$. Giả sử $M\left(\frac{11}{2} ; \frac{1}{2}\right)$ và đường thẳng $A N$ có phương trình $2 x-y-3=0$. Tìm tọa độ điểm $A$.
Câu 8.a (1,0 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ $O x y z$, cho đường thẳng $d: \frac{x+1}{1}=\frac{y}{2}=\frac{z-2}{1}$ và điểm $I(0 ; 0 ; 3)$. Viết phương trình mặt cầu $(S)$ có tâm $I$ và cắt $d$ tại hai điểm $A, B$ sao cho tam giác $I A B$ vuông tại $I$.
Câu 9.a (1,0 điểm). Cho $n$ là số nguyên dương thỏa mãn $5 C_n^{n-1}=C_n^3$. Tìm số hạng chứa $x^5$ trong khai triển nhị thức Niu-tơn của $\left(\frac{n x^2}{14}-\frac{1}{x}\right)^n, x \neq 0$.
B. Theo chương trình Nâng cao
Câu 7.b (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $O x y$, cho đường tròn $(C): x^2+y^2=8$. Viết phương trình chính tắc của elip $(E)$, biết rằng $(E)$ có độ dài trục lớn bằng 8 và $(E)$ cắt $(C)$ tại bốn điểm tạo thành bốn đỉnh của một hình vuông.
Câu 8.b (1,0 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ $O x y z$, cho đường thẳng $d: \frac{x+1}{2}=\frac{y}{1}=\frac{z-2}{1}$, mặt phẳng $(P): x+y-2 z+5=0$ và điểm $A(1 ;-1 ; 2)$. Viết phương trình đường thẳng $\Delta$ cắt $d$ và $(P)$ lần lượt tại $M$ và $N$ sao cho $A$ là trung điểm của đoạn thẳng $M N$.
Câu 9.b (1,0 điểm). Cho số phức $z$ thỏa mãn $\frac{5(\bar{z}+i)}{z+1}=2-i$. Tính môđun của số phức $w=1+z+z^2$.
