Dao Động Điều Hòa Là Gì? Lý thuyết, bài tập và đáp án chi tiết
Dao động điều hòa trước tiên là một dao động cơ, được hiểu là chuyển động qua lại của vật quanh một vị trí cân bằng (thường là vị trí của vật khi đứng yên). Ví dụ như dao động của chiếc thuyền nhấp nhô tại chỗ neo, chuyển động đung đưa của chiếc lá, dây đàn rung lên khi nghệ sĩ gãy đàn…
Dao động điều hòa là dao động có quỹ đạo là một đoạn thẳng và có li độ của vật là một hàm cos (hay sin) của thời gian.
Đồ thị của dao động điều hòa có dạng hình sin. Vì vậy người ta còn gọi dao động điều hòa là dao động hình sin.
Dao động điều hòa (Simple Harmonic Motion – SHM) là một loại dao động tuần hoàn có nhiều ứng dụng trong cuộc sống hàng ngày. Dưới đây là 10 ứng dụng của dao động điều hòa:
- Đồng hồ quả lắc: Đồng hồ quả lắc sử dụng nguyên lý dao động điều hòa để giữ thời gian chính xác. Quả lắc dao động qua lại với một khoảng thời gian cố định, không phụ thuộc vào biên độ của dao động.
- Dây đàn guitar: Khi dây đàn guitar được gảy, nó dao động quanh vị trí cân bằng của nó. Lực phục hồi do độ căng của dây kéo nó trở lại vị trí ban đầu, tạo ra âm thanh.
- Hệ thống treo xe: Hệ thống treo của xe ô tô sử dụng lò xo và giảm chấn để hấp thụ các cú sốc và duy trì tiếp xúc giữa lốp xe và mặt đường, giúp xe di chuyển êm ái hơn. Dao động của hệ thống treo có thể được mô hình hóa như dao động điều hòa.
- Máy giặt: Lồng giặt của máy giặt dao động qua lại theo một mẫu hình sin, giúp quần áo được giặt sạch mà không bị hư hỏng do chuyển động mạnh.
- Dụng cụ âm nhạc: Các nhạc cụ như đàn piano, đàn violin, và các nhạc cụ dây khác tạo ra âm thanh thông qua dao động của dây hoặc màng, có thể được mô hình hóa như dao động điều hòa.
- Con lắc đơn: Con lắc đơn là một ví dụ kinh điển của dao động điều hòa, thường được sử dụng trong các thí nghiệm vật lý để đo gia tốc trọng trường.
- Dây thanh quản: Dây thanh quản trong cổ họng dao động để tạo ra âm thanh khi chúng ta nói hoặc hát. Dao động này có thể được mô hình hóa như dao động điều hòa.
- Máy đo địa chấn: Máy đo địa chấn sử dụng nguyên lý dao động điều hòa để phát hiện và đo lường các rung động của mặt đất trong các trận động đất.
- Đồng hồ cơ: Các bộ phận bên trong đồng hồ cơ, như bánh xe cân bằng và lò xo, dao động theo nguyên lý dao động điều hòa để giữ thời gian chính xác.
- Thiết bị điện tử: Các thiết bị như loa, tai nghe và micro hoạt động dựa trên dao động của màng loa hoặc màng micro để tạo ra và thu nhận âm thanh.
Những ứng dụng này cho thấy tầm quan trọng của dao động điều hòa trong nhiều lĩnh vực khác nhau của cuộc sống hàng ngày và công nghệ.
I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Chu kì, tần số, tần số góc
$$\omega=2 \pi f=\frac{2 \pi}{T} ; T=\frac{t}{n}$$ (t là thời gian để vật thực hiện $\mathrm{n}$ dao động)
2. Dao động
A. Dao động cơ: Chuyển động qua lại quanh một vị trí đặc biệt, gọi là vị trí cân bằng.
B. Dao động tuần hoàn: Sau những khoàng thời gian bằng nhau gọi là chu kỳ, vật trở lại vị trí cũ theo hướng cũ.
C. Dao động điều hòa: là dao động trong đó li độ của vật là một hàm cosin (hay sin) theo thời gian.
3. Phương trình dao động điều hòa (li độ)
$$\mathrm{x}=\mathrm{A} \cdot \cos (\omega \mathrm{t}+\varphi)$$
+$\mathrm{x}$ : $\mathrm{Li}$ độ, đo bằng đơn vị độ dài
$\mathrm{cm}$ hoặc $\mathrm{m}$
+$\mathrm{A}=\mathrm{x}_{\max }$ :Biên độ (luôn có giá trị dương)
+ Quỹ đạo dao động là một đoạn thẳng dài $\mathrm{L}=2 \mathrm{~A}$.
+$\omega(\mathrm{rad} / \mathrm{s})$ : Tần số góc; $\varphi(\mathrm{rad})$ : pha ban đầu; $(\omega \mathrm{t}+\varphi)$ : pha của dao động
+$\mathrm{x}_{\text {max }}=\mathrm{A},|\mathrm{x}|_{\text {min }}=0$
4. Phương trình vận tốc
$$\mathrm{v}=\mathrm{x}^{\prime}=-\omega \mathrm{A} \sin (\omega \mathrm{t}+\varphi)$$
+ $\stackrel{1}{\mathrm{v}}$ luôn cùng chiều với chiều chuyển động (vật chuyển động theo chiều dương thì $\mathrm{v}>0$, theo chiều âm thì $\mathrm{v}<0$ ).
+ $\mathrm{v}$ luôn sớm pha $\frac{\pi}{2}$ so với $\mathrm{x}$.
Tốc độ: là độ lớn của vận tốc $|\mathrm{v}|=|\mathrm{v}|$
+ Tốc độ cực đại $|\mathrm{v}|_{\max }=\mathrm{A} \omega$ khi vật ở vị trí cân bằng $(\mathrm{x}=0)$.
+ Tốc độ cực tiểu $|\mathrm{v}|_{\min }=0$ khi vật ở vị trí biên $(\mathrm{x}= \pm \mathrm{A})$.
5. Phương trình gia tốc
$$a=v^{\prime}=-\omega^2 A \cos (\omega t+\varphi)=-\omega^2 x$$
+$\stackrel{1}{\mathrm{a}}$ có độ lớn tỉ lệ với li độ và luôn hưóng về vị trí cân bằng.
+$\mathrm{a}$ luôn sớm pha $\frac{\pi}{2}$ so với v; $\mathrm{a}$ và $\mathrm{x}$ luôn ngược pha.
+ Vật ở VTCB: $\mathrm{x}=0 ;|\mathrm{v}|_{\max }=\mathrm{A} . \omega ;|\mathrm{a}|_{\min }=0$
+ Vật ở biên: $\mathrm{x}= \pm \mathrm{A} ;|\mathrm{v}|_{\min }=0 ;|\mathrm{v}|_{\max }=\mathrm{A} \omega^2$
6. Hợp lực tác dụng lên vật (lực hồi phục)
+$\stackrel{1}{\mathrm{~F}}$ có độ lớn tỉ lệ với li độ và luôn hướng vè̀ vị trí cân bằng.
+ Dao động cơ đổi chiều khi hợp lực đạt giá trị cực đại.
+$\mathrm{F}_{\mathrm{hp} \max }=\mathrm{kA}=\mathrm{m} \omega^2 \mathrm{~A}$ : tại vị trí biên.
+$\mathrm{F}_{\mathrm{hpmin}}=0$ : tại vị trí cân bằng.
7. Các hệ thức độc lập
| a) $\begin{aligned} \left(\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{a}}\right)^2+\left(\frac{\mathrm{v}}{\mathrm{A} \omega}\right)^2 \end{aligned}$$\begin{aligned} &=1 \Rightarrow \mathrm{A}^2 \\ &=\mathrm{x}^2+\left(\frac{\mathrm{v}}{\omega}\right)^2 \end{aligned}$ |
a) đồ thị của $(\mathrm{v}, \mathrm{x})$ là đường elip |
|---|---|
| b) $a=-\omega^2 \mathrm{x}$ | b) đồ thị của $(\mathrm{a}, \mathrm{x})$ là đoạn thẳng đi qua gốc tọa độ |
| c) $ \left(\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{A} \omega^2}\right)^2+\left(\frac{\mathrm{v}}{\mathrm{A} \omega}\right)^2=1$ $\Rightarrow \mathrm{A}^2=\frac{\mathrm{a}^2}{\omega^4}+\frac{\mathrm{v}^2}{\omega^2} $ |
c) đồ thị của $(\mathrm{a}, \mathrm{v})$ là đường elip |
| d) $\mathrm{F}=-\mathrm{k} \cdot \mathrm{x}$ | d) đồ thị của $(\mathrm{F}, \mathrm{x})$ là đoạn thẳng đi qua gốc tọa độ |
| e) $\left(\frac{\mathrm{F}}{\mathrm{kA}}\right)^2+\left(\frac{\mathrm{v}}{\mathrm{A} \omega}\right)^2=1 $ $\Rightarrow \mathrm{A}^2=\frac{\mathrm{F}^2}{\mathrm{~m}^2 \omega^4}+\frac{\mathrm{v}^2}{\omega^2}$ |
e) đồ thị của $(\mathrm{F}, \mathrm{v})$ là đường elip |
Chú ý:
– Với hai thời điểm $\mathrm{t}_1, \mathrm{t}_2$ vật có các cặp giá trị $\mathrm{x}_1, \mathrm{v}_1$ và $\mathrm{x}_2, \mathrm{v}_2$ thì ta có hệ thức tính $\mathrm{A} \& \mathrm{~T}$ như sau:
– Sụ đổi chiều các đại lương:
$\rightarrow$ Các vectơ a, F đổi chiều khi qua VTCB.
$\rightarrow$ Vectơ $\stackrel{1}{\mathrm{~V}}$ đồi chiều khi qua vị trí biên.
– Khi đi từ vị trí cân bằng $O$ ra vị trí biên:
$\rightarrow$ Nếu $\stackrel{1}{\mathrm{a}} \uparrow \downarrow_{\mathrm{v}}^{\mathrm{L}} \Rightarrow$ chuyển động chậm dần.
$\rightarrow$ Vận tốc giảm, ly độ tăng $\Rightarrow$ động năng giảm, thế năng tăng $\Rightarrow$ độ lớn gia tốc, lực kéo về tăng.
– Khi đi từ vị trí biên về vị trí cân bả̀ng $O$
$\rightarrow$ Nếu $\stackrel{1}{\mathrm{a}} \uparrow^1 \stackrel{1}{\mathrm{v}} \Rightarrow$ chuyền động nhanh dần.
$\rightarrow$ Vận tốc tăng, ly độ giảm $\Rightarrow$ động năng tăng, thế năng giảm $\Rightarrow$ độ lớn gia tốc, lực kéo về giảm.
– Ở đây không thể nói là vật dao động nhanh dần “đều” hay chậm dần “đều” vì dao động là loại chuyển động có gia tốc a biến thiên điều hòa chứ không phải gia tốc a là hằng số.
Các ví dụ điển hình
Ví dụ 1
Một vật dao động với phương trình $\mathrm{x}=5 \cos \left(4 \pi \mathrm{t}+\frac{\pi}{6}\right) \mathrm{cm}$. Tại thời điểm $\mathrm{t}=1 \mathrm{~s}$ hãy xác định li độ của dao động.
A. $2,5 \mathrm{~cm}$
B. $5 \mathrm{~cm}$
C. $2,5 \sqrt{3} \mathrm{~cm}$
D. $2,5 \sqrt{2} \mathrm{~cm}$
Giải
Tại $=1 \mathrm{~s}$ ta có $\omega \mathrm{t}+\varphi=4 \pi+\frac{\pi}{6} \mathrm{rad}$
$$
\Rightarrow \mathrm{x}=5 \cos \left(4 \pi+\frac{\pi}{6}\right)=5 \cos \left(\frac{\pi}{6}\right)=5 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=2,5 \sqrt{3} \mathrm{~cm}
$$
$\Rightarrow$ Chọn đáp án C
Ví dụ 2
Chuyển các phương trình sau về dạng $\cos$.
A. $x=-5 \cos \left(3 \pi t+\frac{\pi}{3}\right) \mathrm{cm} \Rightarrow x=5 \cos \left(3 \pi t+\frac{\pi}{3}+\pi\right)=5 \cos \left(3 \pi t+\frac{4 \pi}{3}\right) \mathrm{cm}$
B. $\mathrm{x}=-5 \sin \left(4 \pi \mathrm{t}+\frac{\pi}{6}\right) \mathrm{cm}$.
$\Rightarrow \mathrm{x}=-5 \cos \left(4 \pi \mathrm{t}+\frac{\pi}{6}-\frac{\pi}{2}\right) \mathrm{cm}=5 \cos \left(4 \pi \mathrm{t}+\frac{\pi}{6}-\frac{\pi}{2}+\pi\right)=5 \cos \left(4 \pi \mathrm{t}+\frac{2 \pi}{3}\right) \mathrm{cm}$.
Ví dụ 3
Một vật dao động điều hòa với tần số góc $\omega=10 \mathrm{rad} / \mathrm{s}$, khi vật có li độ là $3 \mathrm{~cm}$ thì tốc độ là $40 \mathrm{~cm} / \mathrm{s}$. Hãy xác định biên độ của dao động?
A. $4 \mathrm{~cm}$
B. $5 \mathrm{~cm}$
C. $6 \mathrm{~cm}$
D. $3 \mathrm{~cm}$
Giải
Ta có: $\mathrm{A}=\sqrt{\mathrm{x}^2+\frac{\mathrm{v}^2}{\omega^2}}=\sqrt{3^2+\frac{40^2}{10^2}}=5 \mathrm{~cm}$
$\Rightarrow$ Chọn đáp án B
Ví dụ 4
Một vật dao động điều hòa với biên độ $\mathrm{A}=5 \mathrm{~cm}$, khi vật có li độ $2,5 \mathrm{~cm}$ thì tốc độ của vật là $5 \sqrt{3} \mathrm{~cm} / \mathrm{s}$. Hãy xác định vận tốc cực đại của dao động?
A. $10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$
B. $8 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$
C. $10 \mathrm{~cm} / \mathrm{s}$
D. $8 \mathrm{~cm} / \mathrm{s}$
Giải
Ta có: $\left(\frac{x}{A}\right)^2+\left(\frac{v}{v_{\max }}\right)^2=1 \Rightarrow v_{\max }=10 \mathrm{~cm} / \mathrm{s}$
$\Rightarrow$ Chọn đáp án C
II. BÀI TẬP
BÀI TẬP NHẬN BIẾT
Bài 1
Đối với dao động cơ điều hòa của một chất điểm thì khi chất điểm đi đến vị trí biên nó có
A. tốc độ bằng không và gia tốc cực đại.
B. tốc độ bằng không và gia tốc bằng không.
C. tốc độ cực đại và gia tốc cực đại.
D. tốc độ cực đại và gia tốc bằng không.
Bài 2
Đồ thị biểu diễn sự biến thiên của vận tốc theo li độ trong dao động điều hoà có dạng
A. đường hyperbol. B. đường parabol. C. đường thẳng. D. đường elip.
Bài 3
Vận tốc và gia tốc của dao động điều hòa thỏa mãn mệnh đề nào sau đây?
A. Ở vị trí biên thì vận tốc triệt tiêu, gia tốc triệt tiêu.
B. Ở vị trí biên thì vận tốc cực đại, gia tốc triệt tiêu.
C. Ở vị trí cân bằng thì vận tốc cực đại, gia tốc cực đại.
D. Ở vị trí cân bằng thì vận tốc cực đại, gia tốc triệt tiêu.
BÀI TẬP THÔNG HIỂU
Bài 1
Phương trình vận tốc của vật là $\mathrm{v}=\mathrm{A} \omega \cos \omega \mathrm{t}$. Phát biểu nào sau đây là đúng?
A. Gốc thời gian lúc vật đi qua VTCB theo chiều dương.
B. Gốc thời gian lúc vật có li độ $\mathrm{x}=\mathrm{A}$.
C. Gốc thời gian lúc vật có li độ $\mathrm{x}=-\mathrm{A}$.
D. Cả $\mathrm{A}$ và $\mathrm{B}$ đều đúng.
Bài 2
Chọn hệ thức đúng liên hệ giữa $\mathrm{x}, \mathrm{A}, \mathrm{v}, \omega$ trong dao động điều hòa
A. $x^2=A^2+\frac{v^2}{\omega^2}$
B. $x^2=v^2+\frac{x^2}{\omega^2}$
C. $v^2=\omega^2\left(\mathrm{~A}^2-\mathrm{x}^2\right)$
D. $v^2=\omega^2\left(x^2-A^2\right)$
Bài 3
Một vật dao động điều hòa, trong 1 phút thực hiện được 30 dao động toàn phần. Quãng đường mà vật di chuyển trong $8 \mathrm{~s}$ là $64 \mathrm{~cm}$. Biên độ dao động của vật là
A. $2 \mathrm{~cm}$.
B. $3 \mathrm{~cm}$.
C. $4 \mathrm{~cm}$.
D. $5 \mathrm{~cm}$.
BÀI TẬP VẬN DỤNG
Bài 1
Một vật dao động điều hoà dọc theo trục $\mathrm{Ox}$, vận tốc của vật khi qua VTCB là $62,8 \mathrm{~cm} / \mathrm{s}$ và gia tốc cực đại là $2 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^2$. Lấy $\pi^2=10$. Biên độ và chu kì dao động của vật là:
A. $\mathrm{A}=10 \mathrm{~cm} ; \mathrm{T}=1 \mathrm{~s}$.
B. $\mathrm{A}=1 \mathrm{~cm} ; \mathrm{T}=0,1 \mathrm{~s}$.
C. $\mathrm{A}=2 \mathrm{~cm} ; \mathrm{T}=0,2 \mathrm{~s}$.
D. $\mathrm{A}=20 \mathrm{~cm} ; \mathrm{T}=2 \mathrm{~s}$.
Bài 2
Vật dao động điều hoà với biên độ $\mathrm{A}=5 \mathrm{~cm}$, tần số $\mathrm{f}=4 \mathrm{~Hz}$. Vận tốc vật khi có li độ $\mathrm{x}=3 \mathrm{~cm}$ là:
A. $|\mathrm{v}|=2 \pi(\mathrm{cm} / \mathrm{s})$
B. $|\mathrm{v}|=16 \pi(\mathrm{cm} / \mathrm{s})$
C. $|\mathrm{v}|=32 \pi(\mathrm{cm} / \mathrm{s})$
D. $|\mathrm{v}|=64 \pi(\mathrm{cm} / \mathrm{s})$
Bài 3
Một vật dao động điều hoà với biên độ $4 \mathrm{~cm}$. Khi nó có li độ là $2 \mathrm{~cm}$ thì vận tốc là $1 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$. Tần số dao động là:
A. $1 \mathrm{~Hz}$.
B. $3 \mathrm{~Hz}$.
C. $1,2 \mathrm{~Hz}$.
D. $4,6 \mathrm{~Hz}$.
BÀI TẬP VẬN DỤNG CAO
Bài 1
Một con lắc lò xo gắn với vật nặng khối lượng $\mathrm{m}=100 \mathrm{~g}$ đang dao động điều hòa. Vận tốc của vật khi qua vị trí cân bằng là $31,4 \mathrm{~cm} / \mathrm{s}$ và gia tốc cực đại của vật là $4 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^2$. Lấy $\pi^2=10$. Độ cứng của lò xo là:
A. $16 \mathrm{~N} / \mathrm{m}$
B. $6,25 \mathrm{~N} / \mathrm{m}$
C. $160 \mathrm{~N} / \mathrm{m}$
D. $625 \mathrm{~N} / \mathrm{m}$
Bài 2
Tại thời điểm khi vật thực hiện dao động điều hoà với vận tốc bằng $\frac{1}{2}$ vận tốc cực đại. Vật xuất hiện tại li độ bằng bao nhiêu?
A. $\mathrm{A} \frac{\sqrt{3}}{2}$
B. $\mathrm{A} \sqrt{2}$
C. $\frac{\mathrm{A}}{\sqrt{3}}$
D. $\frac{\mathrm{A}}{\sqrt{2}}$
Bài 3
Một vật dao động điều hòa với chu kì $\mathrm{T}=3,14 \mathrm{~s}$. Xác định pha dao động của vật khi nó qua vị trí $\mathrm{x}=2 \mathrm{~cm}$ với vận tốc $\mathrm{v}=0,04 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$
A. $\frac{\pi}{3} \mathrm{rad}$
B. $\frac{-\pi}{4} \mathrm{rad}$
C. $\frac{\pi}{6} \mathrm{rad}$
D. $\frac{\pi}{4} \mathrm{rad}$
GIẢI CHI TIẾT BÀI TẬP VẬN DỤNG
Bài 1
Chọn đáp án D
Giải
Ta có $\mathrm{v}_{\max }=\omega . \mathrm{A}=20 \pi \mathrm{cm} / \mathrm{s}$ và $\mathrm{a}_{\max }=\omega^2 \mathrm{~A}=200 \mathrm{~cm} / \mathrm{s}^2$
$\Rightarrow \omega=\frac{\mathrm{a}_{\max }}{\mathrm{v}_{\max }}=\pi \mathrm{rad} / \mathrm{s} \Rightarrow$ chu kỳ $\mathrm{T}=\frac{2 \pi}{\omega}=2 \mathrm{~s}$
Biên độ $\mathrm{A}=\frac{v_{\max }}{\omega}=20 \mathrm{~cm}$
Bài 2
Chọn đáp án C
Giải
Ta có $\mathrm{v}^2=\omega^2\left(\mathrm{~A}^2-\mathrm{x}^2\right)$ với $\omega=2 . \pi \mathrm{f}=8 \pi \mathrm{rad} / \mathrm{s}$
$$
\Rightarrow \mathrm{v}^2=\omega^2\left(\mathrm{~A}^2-\mathrm{x}^2\right)=8 \pi \sqrt{5^2-3^2}=32 \pi \mathrm{cm} / \mathrm{s}
$$
Bài 3
Chọn đáp án D
Giải
Ta có $\mathrm{v}^2=\omega^2\left(\mathrm{~A}^2-\mathrm{x}^2\right) \Rightarrow 100^2=\omega^2\left(4^2-2^2\right) \Rightarrow \omega=\frac{50}{\sqrt{3}} \mathrm{rad} / \mathrm{s}$
$$
\Rightarrow \mathrm{f}=\frac{\omega}{2 \pi}=4,6 \mathrm{~Hz}
$$
GIẢI CHI TIẾT BÀI TẬP NÂNG CAO
Bài 1
Chọn đáp án A
Giải
Ta có $\mathrm{v}_{\max }=\omega \mathrm{A}=10 \pi \mathrm{cm} / \mathrm{s}$ và $\mathrm{a}_{\max }=\omega^2 \mathrm{~A}=400 \mathrm{~cm} / \mathrm{s}^2$ $\Rightarrow \omega=\frac{\mathrm{a}_{\max }}{\mathrm{v}_{\max }}=4 \pi \mathrm{rad} / \mathrm{s}$ mà $\omega=\sqrt{\frac{\mathrm{k}}{\mathrm{m}}} \Rightarrow \mathrm{k}=\mathrm{m} \cdot \omega^2=16 \mathrm{~N} / \mathrm{m}$
Bài 2
Chọn đáp án A
Giải
Ta có $\mathrm{v}=\frac{\mathrm{v}_{\max }}{2}=\frac{\omega \cdot \mathrm{A}}{2}$
Mà $\mathrm{v}^2=\omega^2\left(\mathrm{~A}^2-\mathrm{x}^2\right)$ thay số vào ta có $\mathrm{x}= \pm \frac{\mathrm{A} \sqrt{3}}{2}$
Bài 3
Chọn đáp án B
Giải
Ta có $\mathrm{T}=\mathrm{p}=3,14 \mathrm{~s} \Rightarrow \omega=2 \mathrm{rad} / \mathrm{s}$
Phương trình li độ $\mathrm{x}=\mathrm{A} \cos (\omega \mathrm{t}+\varphi) \Rightarrow \cos (\omega \mathrm{t}+\varphi)=\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{A}}(1)$
Phương trình vận tốc $\mathrm{v}=-\omega \mathrm{A} \sin (\omega \mathrm{t}+\varphi) \Rightarrow \sin (\omega \mathrm{t}+\varphi)=-\frac{\mathrm{v}}{\omega \mathrm{A}}(2)$
$$
\Rightarrow \frac{\sin (\omega \mathrm{t}+\varphi)}{\cos (\omega \mathrm{t}+\varphi)}=\tan (\omega \mathrm{t}+\varphi)=-1 \Rightarrow(\omega \mathrm{t}+\varphi)=-\frac{\pi}{4}
$$
