Công Thức Hoán Vị – Chỉnh Hợp – Tổ Hợp

Chào các em học sinh lớp 11 thân mến! Hôm nay, đội ngũ hdgmvietnam.org xin được chia sẻ với các em một bài viết hết sức hữu ích và thú vị mang tên “Công thức hoán vị – chỉnh hợp – tổ hợp”. Đây là những kiến thức nền tảng và cốt lõi trong chương trình Toán 11, giúp các em hiểu sâu hơn về cách sắp xếp và lựa chọn các phần tử. Với lối viết dễ hiểu, sinh động cùng những ví dụ minh họa đa dạng, bài viết hứa hẹn sẽ mang đến cho các em một trải nghiệm học tập bổ ích và lôi cuốn. Hãy cùng khám phá ngay bài viết này để làm chủ các công thức hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp nhé!

Trân trọng,
Đội ngũ hdgmvietnam.org

Mục Lục

Trích dẫn nội dung Công Thức Hoán Vị – Chỉnh Hợp – Tổ Hợp

Dạng 8. Công thức hoán vị – chỉnh hợp – tổ hợp
Gồm các dạng toán:
a) Giải phương trình, hệ phương trình và bất phương trình:
Các bước chung khi giải một phương trình, bất phương trình có chứa hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp
– Đặt điều kiện để phương trình, bất phương trình có nghĩa. Cần lưu ý đến các điều kiện tồn tại các số tổ hợp, số chỉnh hợp, số hoán vị.
– Sử dụng các công thức $\mathrm{A}_n^k=\frac{n!}{(n-k)!}, \mathrm{C}_n^k=\frac{n!}{k!(n-k)!}, \mathrm{P}_n=n$ ! quy phương trình, bất phương trình ban đầu về các phương trình, bất phương trình đã biết cách giải.
– Đối chiếu với điều kiện ban đầu để loại bỏ bớt nghiệm ngoại lai.
b) Chứng minh đẳng thức chứa số tổ hợp:
Áp dụng công thức tính số tổ hợp chập $k$ của $n$ phần tử và các tính chất của số $\mathrm{C}_n^k$ để biến đổi vế này thành vế kia.

BÀI TẬP DẠNG 8
Ví dụ 1. Giải phương trình $\frac{\mathrm{P}_n-\mathrm{P}_{n-1}}{\mathrm{P}_{n+1}}=\frac{1}{6}$, với $n \in \mathbb{N}$.
Lời giải.
Với điều kiện $n \geq 1, n \in \mathbb{N}$, ta có
$$
\begin{aligned}
& \frac{\mathrm{P}_n-\mathrm{P}_{n-1}}{\mathrm{P}_{n+1}}=\frac{1}{6} \\
\Leftrightarrow & \frac{n!-(n-1)!}{(n+1)!}=\frac{1}{6} \\
\Leftrightarrow & \frac{n \cdot(n-1)!-(n-1)!}{(n+1) \cdot n \cdot(n-1)!}=\frac{1}{6} \\
\Leftrightarrow & \frac{n-1}{(n+1) \cdot n}=\frac{1}{6} \\
\Leftrightarrow & n^2-5 n+6=0 \\
\Leftrightarrow & n=2 ; n=3 .
\end{aligned}
$$
Vậy tập nghiệm của phương trình là $\mathcal{S}=\{2,3\}$.

Ví dụ 2. Chứng minh rằng: $\mathrm{P}_n=(n-1) \mathrm{P}_{n-1}+(n-2) \mathrm{P}_{n-2}+\ldots+2 \mathrm{P}_2+\mathrm{P}_1+1$, với $n \in \mathbb{N}, n \geq 2$.
Lời giải.
Ta có
$$
\begin{aligned}
& (n-1) \mathrm{P}_{n-1}+(n-2) \mathrm{P}_{n-2}+\ldots+2 \mathrm{P}_2+\mathrm{P}_1+1 \\
= & n \mathrm{P}_{n-1}-\mathrm{P}_{n-1}+(n-1) \mathrm{P}_{n-2}-\mathrm{P}_{n-2}+\ldots+3 \mathrm{P}_2-\mathrm{P}_2+2 \mathrm{P}_1-\mathrm{P}_1+1 \\
= & n \mathrm{P}_{n-1} \underbrace{-\mathrm{P}_{n-1}+(n-1) \mathrm{P}_{n-2}}_0-\mathrm{P}_{n-2}+\ldots+3 \mathrm{P}_2 \underbrace{-\mathrm{P}_2+2 \mathrm{P}_1}_0 \underbrace{-\mathrm{P}_1+1}_0 \\
= & \mathrm{P}_n .
\end{aligned}
$$

Ví dụ 3. Giải phương trình $\mathrm{A}_n^5=30 \mathrm{~A}_{n-2}^4$
Lời giải.
Điều kiện: $n \geq 6, n \in \mathbb{N}$.
Với điều kiện trên, ta có
$$
\mathrm{A}_n^5=30 \mathrm{~A}_{n-2}^4 \Leftrightarrow \frac{n!}{(n-5)!}=30 \cdot \frac{(n-2)!}{(n-2-4)!} \Leftrightarrow \frac{n(n-1)}{n-5}=30 \Leftrightarrow n=25 ; n=6 \text {. }
$$