Con Lắc Lò Xo Là Gì? Ứng dụng, Công thức và Bài tập có lời giải chi tiết

Con lắc lò xo có cấu tạo bao gồm một lò xo nhẹ có độ cứng $K$ nào đó gắn một đầu với một quả cầu kim loại có khối lượng $\mathrm{m}$ và đầu còn lại của lò xo được giữ cố định.

Con lắc lò xo có 3 dạng chính thường gặp gồm có:
– Con lắc lò xo nằm ngang,
– Con lắc lò xo treo thẳng đứng
– Con lắc lò xo nằm nghiêng.

Con lắc lò xo là một hệ dao động cơ bản nhưng có nhiều ứng dụng quan trọng và đa dạng trong đời sống và kỹ thuật sau:

Đồng hồ quả lắc: Con lắc lò xo được sử dụng trong đồng hồ để điều chỉnh chuyển động của các bánh răng, giúp đồng hồ chạy chính xác.
Đo gia tốc rơi tự do: Con lắc lò xo có thể được dùng để đo gia tốc rơi tự do khi vật ở trạng thái không trọng lượng.
Đo khối lượng vật: Con lắc lò xo có thể được dùng để đo khối lượng của vật ở trạng thái không trọng lượng.
Thăm dò địa chất: Các nhà địa chất sử dụng con lắc lò xo để đo gia tốc trọng trường ở một nơi nào đó, từ đó thăm dò tính chất của lớp bề mặt Trái đất.
Đo chấn động, rung động: Con lắc lò xo được dùng trong các thiết bị đo chấn động, rung động như máy đo động đất (seismometer).
Nghiên cứu chuyển động dao động: Con lắc lò xo là một mô hình cơ bản để nghiên cứu các tính chất của chuyển động dao động điều hòa trong vật lý.
Thiết bị âm nhạc: Con lắc lò xo được ứng dụng trong nhạc cụ như metronome để giúp người chơi nhạc giữ nhịp chính xác.
Trò chơi giải trí: Nguyên lý của con lắc lò xo được ứng dụng trong các trò chơi đu quay, tàu lượn siêu tốc tại công viên giải trí.
Giảm chấn, giảm rung: Con lắc lò xo được dùng trong các hệ thống giảm chấn, giảm rung động cho xe cộ, máy móc.
Đồ chơi giáo dục: Con lắc lò xo đơn giản có thể được chế tạo thành đồ chơi để minh họa các nguyên lý vật lý cho học sinh.

Mục Lục

I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT

DẠNG 1: ĐẠI CƯƠNG VỀ CON LẮC LÒ XO

1. Phương trình dao động

$$\mathrm{x}=\mathrm{A} \cdot \cos (\omega \mathrm{t}+\varphi)$$

2. Chu kì, tần số, tần số góc và độ biến dạng

+ Tần số góc, chu kỳ, tần số: $\omega=\sqrt{\frac{\mathrm{k}}{\mathrm{m}}} ; \mathrm{T}=2 \pi \sqrt{\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{k}}} ; \mathrm{f}=\frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{\mathrm{k}}{\mathrm{m}}}$
+ $\mathrm{k}=\mathrm{m} \omega^2$
Chú ý: $1 \mathrm{~N} / \mathrm{cm}=100 \mathrm{~N} / \mathrm{m}$
+ Nếu lò xo thẳng đứng: $\mathrm{T}=2 \pi \sqrt{\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{k}}}=2 \pi \sqrt{\frac{\Delta \mathrm{l}_{\mathrm{o}}}{\mathrm{g}}}$ với $\Delta \mathrm{l}_{\mathrm{o}}=\frac{\mathrm{mg}}{\mathrm{k}}$
Nhận xét: Chu kỳ của con lắc lò xo
+ tỉ lệ với căn bậc 2 của $\mathrm{m}$; tỉ lệ nghịch với căn bậc 2 của $\mathrm{k}$
+ chỉ phụ thuộc vào $\mathrm{m}$ và $\mathrm{k}$; không phụ thuộc vào $\mathrm{A}$ (sự kích thích ban đầu)

3. Trong cùng khoảng thời gian, hai con lắc thực hiện

$\mathbf{N}_1$ và $\mathbf{N}_2$ dao động: $$\frac{\mathrm{m}_2}{\mathrm{~m}_1}=\left(\frac{\mathrm{N}_1}{\mathrm{~N}_2}\right)^2$$

4. Chu kì và sự thay đổi khối lượng

Gắn lò xo $\mathrm{k}$ vào vật $\mathrm{m}_1$ được chu kỳ $\mathrm{T}_1$, vào vật $\mathrm{m}_2$ được $\mathrm{T}_2$, vào vật khối lượng $\mathrm{m}_3=\mathrm{m}_1+\mathrm{m}_2$ được chu kỳ $\mathrm{T}_3$, vào vật khối lượng $\mathrm{m}_4=\mathrm{m}_1-\mathrm{m}_2\left(\mathrm{~m}_1>\mathrm{m}_2\right)$ được chu kỳ $\mathrm{T}_4$. Ta có: $\mathrm{T}_3^2=\mathrm{T}_1^2+\mathrm{T}_2^2$ và $\mathrm{T}_4^2=\mathrm{T}_1^2-\mathrm{T}_2^2$ (chỉ cần nhớ $\mathrm{m}$ tỉ lệ với bình phương của $\mathrm{T}$ là ta có ngay công thức này)

5. Chu kì và sự thay đổi độ cứng

Một lò xo có độ cứng $\mathrm{k}$, chiều dài 1 được cắt thành các lò xo có độ cứng $\mathrm{k}_1, \mathrm{k}_2$ và chiều dài tương ứng là $\mathrm{l}_1, \mathrm{l}_2 \ldots$ thì có: $\mathrm{k} \mathrm{l}=\mathrm{k}_1 \cdot \mathrm{l}_1=\mathrm{k}_2 \cdot \mathrm{l}_2$ (chỉ cần nhớ $\mathrm{k}$ tỉ lệ nghịch với $l$ của lò xo)
– Ghép lò xo:
* Nối tiếp: $\frac{1}{\mathrm{k}}=\frac{1}{\mathrm{k}_1}+\frac{1}{\mathrm{k}_2}$
$\Rightarrow$ cùng treo một vật khối lượng như nhau thì:
$$
\mathrm{T}^2=\mathrm{T}_1^2+\mathrm{T}_2^2
$$
* Song song: $\mathrm{k}=\mathrm{k}_1+\mathrm{k}_2$
$\Rightarrow$ cùng treo một vật khối lượng như nhau thì:
$$
\frac{1}{\mathrm{~T}^2}=\frac{1}{\mathrm{~T}_1^2}+\frac{1}{\mathrm{~T}_2^2}
$$
(Chỉ cần nhớ $\mathrm{k}$ tỉ lệ nghịch với bình phương của $\mathrm{T}$ là ta có ngay công thức này)

DẠNG 2: LỰC HỒI PHỤC, LỰC ĐÀN HỒI & CHIỀU DÀI LÒ XO KHI VẬT DAO ĐỘNG.

1. Lực hồi phục

Là nguyên nhân làm cho vật dao động, luôn hướng về vị trí cân bằng và biến thiên điều hòa cùng tần số với li độ. Lực hồi phục của CLLX không phụ thuộc khối lượng vật nặng.
$$
\mathrm{F}_{\mathrm{ph}}=-\mathrm{k} \cdot \mathrm{x}=-\mathrm{m} \omega^2 \cdot \mathrm{x} ; \mathrm{F}_{\mathrm{phmin}}=0 ; \mathrm{F}_{\mathrm{ph} \max }=\mathrm{k} \cdot \mathrm{A}
$$

2. Chiều dài lò xo

Với $\mathrm{l}_0$ là chiều dài tự nhiên của lò xo
* Khi lò xo nằm ngang: $\Delta \mathrm{l}_0=0$

Chiều dài cực đại của lò xo: $\mathrm{l}_{\max }=\mathrm{l}_0+\mathrm{A}$
Chiều dài cực tiểu của lò xo: $\mathrm{l}_{\max }=\mathrm{l}_0-\mathrm{A}$
* Khi con lắc lò xo treo thẳng đứng hoặc nằm nghiêng l góc $\alpha$ Chiều dài khi vật ở vị trí cân bằng: $\mathrm{l}_{\mathrm{cb}}=\mathrm{l}_0+\Delta \mathrm{l}_0$
Chiều dài ở ly độ $\mathrm{x}: \mathrm{l}=\mathrm{l}_{\mathrm{cb}} \pm \mathrm{x}$
Dấu “+” nếu chiều dương cùng chiều dãn của lò xo
Chiều dài cực đại của lò xo: $\mathrm{l}_{\max }=\mathrm{l}_{\mathrm{cb}}+\mathrm{A}$
Chiều dài cực tiểu của lò xo: $\mathrm{l}_{\min }=\mathrm{l}_{\mathrm{cb}}-\mathrm{A}$
Với $\Delta \mathrm{l}_0$ được tính như sau:
+ Khi con lắc lò xo treo thẳng đứng: $\Delta \mathrm{l}_0=\frac{\mathrm{mg}}{\mathrm{k}}=\frac{\mathrm{g}}{\omega^2}$
+ Khi con lắc nằm trên mặt phẳng nghiêng góc $\alpha: \Delta \mathrm{l}_0=\frac{\mathrm{mg} \cdot \sin \alpha}{\mathrm{k}}$

3. Lực đàn hồi

Xuất hiện khi lò xo bị biến dạng và đưa vật về vị trí lò xo không bị biến dạng
a. Lò xo nằm ngang: VTCB trùng với vị trí lò xo không bị biến dạng.
$+\mathrm{F}_{\mathrm{dh}}=\mathrm{kx}=\mathrm{k} \cdot \Delta \mathrm{l} \quad(\mathrm{x}=\Delta \mathrm{l}$ : độ biến dạng; đơn vị mét $)$
$+\mathrm{F}_{\text {dhmin }}=0 ; \mathrm{F}_{\text {dhmax }}=\mathrm{k} . \mathrm{A}$
b. Lò xo treo thẳng đứng:
– Ở ly độ $\mathrm{x}$ bất kì: $\mathrm{F}=\mathrm{k}\left(\Delta \mathrm{l}_0 \pm \mathrm{x}\right)$. Dấu “+” nếu chiều dương cùng chiều dãn của lò $\mathrm{xo}$.

Ví dụ: theo hình bên thì $\mathrm{F}=\mathrm{k}\left(\Delta \mathrm{l}_0-\mathrm{x}\right)$
– Ở vị trí cân bằng $(\mathrm{x}=0): \mathrm{F}=\mathrm{k} \Delta \mathrm{l}_0$
– Lực đàn hồi cực đại (lực kéo): $\mathrm{F}_{\mathrm{Kmax}}=\mathrm{k}\left(\Delta \mathrm{l}_0+\mathrm{A}\right)$ (ở vị trí thấp nhất)
– Lực đẩy (lực nén) đàn hồi cực đại: $\mathrm{F}_{\mathrm{N} \max }=\mathrm{k}\left(\mathrm{A}-\Delta \mathrm{1}_0\right)$ (ở vị trí cao nhất).
– Lực đàn hồi cực tiểu:
* Nếu $\mathrm{A}<\Delta \mathrm{l}_0 \Rightarrow \mathrm{F}_{\mathrm{Min}}=\mathrm{k}\left(\Delta \mathrm{l}_0-\mathrm{A}\right)=\mathrm{F}_{\mathrm{K} \text { min }}$ (vị trí cao nhất).
* Nếu $\mathrm{A} \geq \Delta \mathrm{l}_0 \Rightarrow \mathrm{F}_{\mathrm{Min}}=0$ (ở vị trí lò xo không biến dạng: $\mathrm{x}=\Delta \mathrm{l}_0$ )

Chú ý:
– Lực tác dụng vào điểm treo $\mathrm{Q}$ tại một thời điểm có độ lớn đúng bằng lực đàn hồi nhưng ngược chiều.
– Lực kéo về là hợp lực của lực đàn hồi và trọng lực:
+ Khi con lắc lò xo nằm ngang: Lực hồi phục có độ lớn bằng lực đàn hồi (vì tại VTCB lò xo không biến dạng)
+ Khi con lắc lò xo treo thẳng đứng: Lực kéo về là hợp lực của lực đàn hồi và trọng lực.

4. Tính thời gian lò xo dãn – nén trong một chu kì

a. Khi $\mathrm{A}>\Delta 1$ (Với $\mathrm{Ox}$ hướng xuống): Trong một chu kỳ lò xo dãn (hoặc nén) 2 lần.
– Thời gian lò xo nén tương ứng đi từ $\mathrm{M}_1$ đến $\mathrm{M}_2$ :
$$
\mathrm{t}_{\text {nen }}=\frac{2 \alpha}{\omega} \text { với } \cos \alpha=\frac{\mathrm{OM}}{\mathrm{OM}_1}=\frac{\Delta \mathrm{l}}{\mathrm{A}}
$$

Hoặc dùng công thức $\mathrm{t}_{\text {nen }}=\frac{2}{\omega} \arccos \frac{\Delta \mathrm{I}_0}{\mathrm{~A}}$
– Thời gian lò xo dãn tương ứng đi từ $\mathrm{M}_2$ đến $\mathrm{M}_1$ :
$$
\mathrm{t}_{\mathrm{dan}}=\mathrm{T}-\mathrm{t}_{\text {nen }}=\frac{2(\pi-\alpha)}{\omega}
$$
b. Khi $\Delta \mathrm{l} \geq \mathrm{A}$ (Với $\mathrm{Ox}$ hướng xuống): Trong một chu kỳ $\mathrm{t}_{\mathrm{d}}=\mathrm{T} ; \mathrm{t}_{\mathrm{n}}=0$.

CÁC VÍ DỤ ĐIỂN HÌNH

Ví dụ 1

Một con lắc lò xo nằm ngang có độ cứng $\mathrm{k}=100 \mathrm{~N} / \mathrm{m}$ được gắn vào vật nặng có khối lượng $\mathrm{m}=0,1 \mathrm{~kg}$. Kích thích cho vật dao động điều hòa, xác định chu kỳ của con lắc lò xo? Lấy $\pi^2=10$.
A. 0,1 $\mathrm{~s}$
B. 5 $\mathrm{~s}$
C. 0,2 $\mathrm{~s}$
D. 0,3 $\mathrm{~s}$

Giải
Ta có: $\mathrm{T}=2 \pi \sqrt{\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{k}}}$ với $\left\{\begin{array}{l}\mathrm{m}=100 \mathrm{~g}=0,1 \mathrm{~kg} \\ \mathrm{k}=100 \frac{\mathrm{N}}{\mathrm{m}}\end{array} \Rightarrow \mathrm{T}=2 \pi \sqrt{\frac{0,1}{100}}=0,2 \mathrm{~s}\right.$
$\Rightarrow$ Chọn đáp án C

Ví dụ 2

Một con lắc lò xo có khối lượng không đáng kề, độ cứng là $\mathrm{k}$, lò xo treo thằng đứng, bên dưới treo vật nặng có khối lượng $\mathrm{m}$. Ta thấy ở vị trí cân bằng lò xo giãn ra một đoạn $16 \mathrm{~cm}$. kích thích cho vật dao động điều hòa. Xác định tần số của con lắc lò xo. Cho $\mathrm{g}=\pi^2\left(\mathrm{~m} / \mathrm{s}^2\right)$
A. $2,5 \mathrm{~Hz}$
B. $5 \mathrm{~Hz}$
C. $3 \mathrm{~Hz}$
D. $1,25 \mathrm{~Hz}$

Giải
Ta có: $\mathrm{f}=\frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{\mathrm{g}}{\Delta \ell}}$ với $\left\{\begin{array}{l}\mathrm{g}=\pi^2 \\ \Delta \ell=0,16 \mathrm{~m}\end{array} \Rightarrow \mathrm{f}=1,25 \mathrm{~Hz}\right.$
$\Rightarrow$ Chọn đáp án D

Ví dụ 3

Một con lắc lò xo có độ cứng là $\mathrm{k}$. Một đầu gắn cố định, một đầu gắn với vật nặng có khối lượng $\mathrm{m}$. Kích thích cho vật dao động, nó dao động điều hòa với chu kỳ là $T$. Hỏi nếu tăng gấp đôi khối lượng của vật và giàm độ cứng đi 2 lần thì chu kỳ của con lắc lò xo sẽ thay đồi như thế nào?
A. Không đổi
B. Tăng lên 2 lần
C. Giàm đi 2 lần
D. Giảm 4 lần

Giải
Gọi chu kỳ ban đầu cùa con lắc lò xo là $\mathrm{T}=2 \pi \sqrt{\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{k}}}$
Gọi $\mathrm{T}$ ‘ là chu kỳ của con lắc sau khi thay đổi khối lượng và độ cứng của lò xo.
$\Rightarrow \mathrm{T}^{\prime}=2 \pi \sqrt{\frac{\mathrm{m}^{\prime}}{\mathrm{k}^{\prime}}}$ Trong đó $\mathrm{m}^{\prime}=2 \mathrm{~m} ; \mathrm{k}^{\prime}=\mathrm{k} / 2 \Rightarrow \mathrm{T}^{\prime}=2 \pi \sqrt{\frac{2 \mathrm{~m}}{\frac{\mathrm{k}}{2}}}=2.2 \pi \sqrt{\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{k}}}=2 \mathrm{~T}$
$\Rightarrow$ Chu kỳ dao động tăng lên 2 lần
$\Rightarrow$ Chọn đáp án B

Chọn đáp án C
Ta có $\omega=4 \pi(\mathrm{rad} / \mathrm{s}) \Rightarrow \mathrm{k}=\mathrm{m} \cdot \omega^2=0,1 \cdot(4 \pi)^2=16 \mathrm{~N} / \mathrm{m}$
Lực dùng kéo vật trước khi dao động $\mathrm{F}_{\text {krmax }}=\mathrm{k} \cdot \mathrm{A}=16 \cdot 0,05=0,8 \mathrm{~N}$