Con Lắc Đơn Là Gì? Công Thức, Ví Dụ và Bài Tập Chi Tiết

Mục Lục

Định nghĩa

Con lắc đơn là một vật nhỏ có khối lượng $m$ được treo vào một sợi dây không dãn, không khối lượng, có chiều dài $l$. Đầu trên của sợi dây được giữ cố định. Khi con lắc đứng yên, sợi dây nằm trên phương thẳng đứng.

Ứng dụng và ví dụ thực tiễn

Đồng hồ quả lắc: Con lắc đơn được sử dụng để đếm giây trong các đồng hồ treo tường cổ điển.
Xác định gia tốc trọng trường: Bằng cách đo chu kỳ dao động của con lắc đơn, ta có thể xác định gia tốc trọng trường tại một vị trí nhất định.
Thiết bị đo độ cao: Con lắc đơn có thể được sử dụng để đo độ cao nhờ vào sự phụ thuộc của chu kỳ dao động vào gia tốc trọng trường.
Nghiên cứu dao động điều hòa: Con lắc đơn là một mô hình đơn giản để nghiên cứu dao động điều hòa trong vật lý.

Công thức liên quan

Công thức cơ bản

Phương trình dao động: $s = s_0 \cos(\omega t + \phi_0)$
Chu kỳ dao động: $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$
Tần số góc: $\omega = \sqrt{\frac{g}{l}}$
Tần số dao động: $f = \frac{1}{T} = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{g}{l}}$

Trong đó:

$s$ là li độ cong (m)
$s_0$ là biên độ dao động (m)
$\phi_0$ là pha ban đầu (rad)
$l$ là chiều dài của con lắc (m)
$g$ là gia tốc trọng trường (m/s^2)

Công thức năng lượng

Động năng: $W_đ = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}m\omega^2s_0^2\sin^2(\omega t + \phi_0)$
Thế năng: $W_t = mgl(1 – \cos\alpha) = mgl\left(1 – \cos\left(\frac{s}{l}\right)\right)$
Cơ năng: $W = W_đ + W_t = mgl(1 – \cos\alpha_0)$

Trong đó:

$m$ là khối lượng của vật (kg)
$v$ là vận tốc của vật (m/s)
$\alpha$ là li độ góc (rad)
$\alpha_0$ là biên độ góc (rad)

Cơ năng của con lắc đơn được bảo toàn nếu không có lực ma sát.

Câu hỏi tư duy về đề tài

Tại sao chu kỳ dao động của con lắc đơn không phụ thuộc vào khối lượng của vật?
Giả sử con lắc đơn dao động với biên độ lớn, liệu công thức chu kỳ dao động có còn đúng không? Giải thích.
Nếu ta tăng chiều dài của con lắc đơn gấp đôi, chu kỳ dao động sẽ thay đổi như thế nào?
Hãy giải thích tại sao cơ năng của con lắc đơn được bảo toàn trong trường hợp không có ma sát.
Nếu ta đưa con lắc đơn lên một độ cao lớn, chu kỳ dao động sẽ thay đổi như thế nào? Giải thích.

Trả lời câu hỏi tư duy

Chu kỳ dao động của con lắc đơn không phụ thuộc vào khối lượng của vật vì khối lượng không xuất hiện trong công thức tính chu kỳ $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$. Điều này là do lực kéo về của con lắc đơn (lực hấp dẫn) tỷ lệ với khối lượng, và gia tốc cũng tỷ lệ nghịch với khối lượng, do đó hai hiệu ứng này triệt tiêu nhau.
Nếu con lắc đơn dao động với biên độ lớn, công thức chu kỳ dao động $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$ sẽ không còn đúng nữa. Công thức này chỉ đúng khi biên độ góc $\alpha_0$ nhỏ, vì trong trường hợp đó, ta có thể xấp xỉ $\sin\alpha \approx \alpha$ (xấp xỉ góc nhỏ). Khi biên độ lớn, sự phụ thuộc của chu kỳ vào biên độ trở nên phức tạp hơn.
Nếu ta tăng chiều dài của con lắc đơn gấp đôi, từ công thức $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$, ta thấy chu kỳ dao động sẽ tăng gấp $\sqrt{2}$ lần.
Cơ năng của con lắc đơn được bảo toàn trong trường hợp không có ma sát vì không có lực không bảo toàn năng lượng tác dụng lên hệ. Trong quá trình dao động, năng lượng chỉ chuyển đổi giữa động năng và thế năng mà không bị tổn thất.
Nếu ta đưa con lắc đơn lên một độ cao lớn, gia tốc trọng trường $g$ sẽ giảm đi một chút. Từ công thức $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$, ta thấy chu kỳ dao động sẽ tăng lên nhưng sự thay đổi này rất nhỏ vì gia tốc trọng trường thay đổi không đáng kể trong phạm vi độ cao thông thường.

Bài tập cơ bản

Một con lắc đơn có chiều dài $l = 1$ m dao động điều hòa tại nơi có gia tốc trọng trường $g = 9,8$ m/s^2. Tính chu kỳ dao động của con lắc.
A. 1,28 s
B. 2,01 s
C. 3,14 s
D. 6,28 s
Một con lắc đơn có khối lượng $m = 0,2$ kg và chiều dài $l = 0,5$ m. Nếu biên độ dao động là $s_0 = 0,1$ m, hãy tính cơ năng của con lắc.
A. 0,049 J
B. 0,098 J
C. 0,147 J
D. 0,196 J
Tại một nơi nào đó, chu kỳ dao động của một con lắc đơn là $T = 2$ s. Nếu ta muốn tăng chu kỳ lên gấp đôi, chiều dài của con lắc phải được thay đổi như thế nào?
A. Tăng gấp 2 lần
B. Tăng gấp 4 lần
C. Giảm đi 1/2 lần
D. Giảm đi 1/4 lần
Một con lắc đơn có chiều dài $l = 1,2$ m dao động với biên độ góc $\alpha_0 = 10^\circ$. Tính thế năng cực đại của con lắc.
A. 0,115 J
B. 0,230 J
C. 0,345 J
D. 0,460 J
Nếu ta tăng chiều dài của một con lắc đơn lên gấp 3 lần, tần số dao động của nó sẽ thay đổi như thế nào?
A. Tăng gấp 3 lần
B. Giảm đi 1/3 lần
C. Giảm đi 1/$\sqrt{3}$ lần
D. Tăng lên $\sqrt{3}$ lần

Bài tập nâng cao

Một con lắc đơn có chiều dài $l = 2$ m dao động với biên độ góc $\alpha_0 = 30^\circ$ tại nơi có gia tốc trọng trường $g = 9,8$ m/s^2. Tính vận tốc cực đại của vật.
A. 2,45 m/s
B. 3,67 m/s
C. 4,90 m/s
D. 6,12 m/s
Một con lắc đơn có khối lượng $m = 0,5$ kg và chiều dài $l = 1$ m. Nếu cơ năng của con lắc là $W = 1,23$ J, hãy tính biên độ dao động của nó.
A. 0,2 m
B. 0,4 m
C. 0,6 m
D. 0,8 m
Tại một nơi nào đó, chu kỳ dao động của một con lắc đơn là $T_1 = 2$ s. Nếu ta di chuyển con lắc đến một nơi khác có gia tốc trọng trường lớn hơn, chu kỳ dao động mới là $T_2 = 1,8$ s. Tỷ số giữa gia tốc trọng trường tại hai nơi là bao nhiêu?
A. 1,25
B. 1,44
C. 1,67
D. 1,92
Một con lắc đơn có khối lượng $m = 0,3$ kg và chiều dài $l = 0,8$ m dao động với biên độ góc $\alpha_0 = 20^\circ$. Tính động năng cực đại của con lắc.
A. 0,092 J
B. 0,184 J
C. 0,276 J
D. 0,368 J
Một con lắc đơn có chiều dài $l = 1,5$ m dao động với chu kỳ $T = 2,4$ s. Nếu ta muốn giảm chu kỳ xuống còn $T’ = 2$ s, chiều dài của con lắc phải được thay đổi như thế nào?
A. Tăng lên 1,44 lần
B. Giảm đi 1,44 lần
C. Tăng lên 1,69 lần
D. Giảm đi 1,69 lần

Giải bài tập cơ bản

1.Đáp án: B

Giải thích:
Sử dụng công thức chu kỳ dao động của con lắc đơn: $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$
Thay số $l = 1$ m và $g = 9,8$ m/s^2 vào công thức, ta được:
$T = 2\pi \sqrt{\frac{1}{9,8}} \approx 2,01$ s

2.Đáp án: B

Giải thích:
Cơ năng của con lắc đơn được tính bằng: $W = mgl(1 – \cos\alpha_0)$
Với $m = 0,2$ kg, $l = 0,5$ m, $g = 9,8$ m/s^2 và $\alpha_0 = \frac{s_0}{l} = \frac{0,1}{0,5} = 0,2$ rad, ta có:
$W = 0,2 \times 9,8 \times 0,5 \times (1 – \cos 0,2) \approx 0,098$ J

3.Đáp án: B

Giải thích:
Từ công thức $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$, nếu muốn tăng chu kỳ gấp đôi, ta phải tăng chiều dài $l$ lên gấp 4 lần.

4.Đáp án: A

Giải thích:
Thế năng cực đại của con lắc đơn xảy ra khi $\alpha = \alpha_0 = 10^\circ = \frac{\pi}{18}$ rad.
Sử dụng công thức $W_t = mgl(1 – \cos\alpha)$, ta có:
$W_t = 0,2 \times 9,8 \times 1,2 \times \left(1 – \cos\frac{\pi}{18}\right) \approx 0,115$ J

5.Đáp án: C

Giải thích:
Từ công thức $f = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{g}{l}}$, nếu tăng chiều dài $l$ lên gấp 3 lần, tần số $f$ sẽ giảm đi $\frac{1}{\sqrt{3}}$ lần.

Giải bài tập nâng cao

1.Đáp án: C

Giải thích:
Vận tốc cực đại của con lắc đơn xảy ra khi $\alpha = 0$, tức là khi vật đi qua vị trí cân bằng.
Sử dụng công thức $v_{\text{max}} = \omega s_0 = \sqrt{\frac{g}{l}} s_0$
Với $g = 9,8$ m/s^2, $l = 2$ m và $s_0 = l \sin\alpha0 = 2 \sin 30^\circ \approx 1$ m, ta có:
$v{\text{max}} = \sqrt{\frac{9,8}{2}} \times 1 \approx 4,90$ m/s

2.Đáp án: B

Giải thích:
Từ công thức cơ năng $W = mgl(1 – \cos\alpha_0)$, ta có:
$1,23 = 0,5 \times 9,8 \times 1 \times (1 – \cos\alpha_0)$
Giải ra, ta được $\alpha_0 \approx 0,4$ rad
Biên độ dao động $s_0 = l \sin\alpha_0 = 1 \times \sin 0,4 \approx 0,4$ m

3.Đáp án: B

Giải thích:
Từ công thức $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$, ta có:
$\frac{T_1}{T_2} = \sqrt{\frac{g_2}{g_1}}$
Thay số $T_1 = 2$ s, $T_2 = 1,8$ s vào công thức trên, ta được:
$\frac{2}{1,8} = \sqrt{\frac{g_2}{g_1}} \Rightarrow \frac{g_2}{g_1} = 1,44$

4.Đáp án: C

Giải thích:
Động năng cực đại của con lắc đơn xảy ra khi $\alpha = \frac{\pi}{2}$, tức là khi vật đi qua vị trí cân bằng.
Sử dụng công thức $W_đ = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}m\omega^2s_0^2$
Với $m = 0,3$ kg, $l = 0,8$ m, $\omega = \sqrt{\frac{g}{l}} = \sqrt{\frac{9,8}{0,8}} \approx 3,5$ rad/s và $s_0 = l \sin\alpha0 = 0,8 \sin 20^\circ \approx 0,276$ m, ta có:
$Wđ = \frac{1}{2} \times 0,3 \times 3,5^2 \times 0,276^2 \approx 0,276$ J

5.Đáp án: A

Giải thích:
Từ công thức $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$, nếu muốn giảm chu kỳ từ $T = 2,4$ s xuống $T’ = 2$ s, ta phải giảm chiều dài $l$ đi $\left(\frac{2,4}{2}\right)^2 = 1,44$ lần.
Vậy chiều dài mới $l’ = \frac{l}{1,44} = \frac{1,5}{1,44} \approx 1,04$ m, tức là tăng lên 1,44 lần so với chiều dài ban đầu.