Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc
Chào các em học sinh lớp 11 thân mến!
Hôm nay, đội ngũ hdgmvietnam.org xin được chia sẻ với các em một bài viết hết sức thú vị và bổ ích: “Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc”. Đây là một kiến thức quan trọng trong chương trình Toán 11, giúp các em hiểu sâu hơn về mối quan hệ giữa các mặt phẳng trong không gian. Với lối viết dễ hiểu, sinh động cùng các ví dụ minh họa rõ ràng, bài viết hứa hẹn sẽ mang đến cho các em những phút giây học tập thật sự thú vị và hiệu quả. Hãy cùng hdgmvietnam.org khám phá thế giới Toán học kỳ diệu này nhé! Chúc các em học tập thật tốt và luôn đạt kết quả cao trong môn Toán.
Trân trọng,
Đội ngũ hdgmvietnam.org
Trích dẫn nội dung Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc
Dạng 2. Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc
1. Phương pháp
Để chứng minh hai mặt phẳng vuông góc, ta dùng định lí: Hai mặt phẳng vuông góc với nhau khi và chỉ khi mặt phẳng này chứa một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia.
$$
\left.\begin{array}{l}
\text { (P) } \supset \mathrm{a} \\
\mathrm{a} \perp(\mathrm{Q})
\end{array}\right\} \Rightarrow(\mathrm{P}) \perp(\mathrm{Q}) \text {. }
$$
Như vậy, việc chứng minh hai mặt phẳng vuông góc quy về việc chứng minh một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng.
2. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng
Ví dụ 1: Cho đường thẳng $\mathrm{a}$ và hai mặt phẳng $(\mathrm{P})$ và $(\mathrm{Q})$. Khẳng đinh nào sau đây đúng?
A. $\left.\begin{array}{l}\mathrm{a} \subset(\mathrm{P}) \\ (\mathrm{Q}) \perp \mathrm{a}\end{array}\right\} \Rightarrow(\mathrm{Q}) \perp(\mathrm{P})$.
B. $\left.\begin{array}{l}(\mathrm{Q}) \perp(\mathrm{P}) \\ \mathrm{a} \subset(\mathrm{P})\end{array}\right\} \Rightarrow \mathrm{a} \perp(\mathrm{Q})$.
C. $\left.\begin{array}{l}\Delta=(\mathrm{P}) \cap(\mathrm{Q}) \\ \text { a } \perp \Delta\end{array}\right\} \Rightarrow \mathrm{a} \perp(\mathrm{Q})$.
D. Có 2 câu đúng trong 3 câu trên.
Hướng dẫn giải
ĐÁP ÁN A
Theo định lí: “Nếu $(\mathrm{P}) \supset \mathrm{a}$ và $\mathrm{a} \perp(\mathrm{Q})$ thì $(\mathrm{P}) \perp(\mathrm{Q})$ ” thì A đúng.
Ví dụ 2: Cho hai mặt phẳng $(\mathrm{P})$ và $(\mathrm{Q})$ cắt nhau theo giao tuyến $\Delta$. Gọi a là đường thẳng nằm trong $(\mathrm{P})$. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. Nếu a $\perp \Delta$ thì $\mathrm{a} \perp(\mathrm{Q})$.
B. $\left.\begin{array}{l}\mathrm{a} \perp \Delta \\ (\mathrm{P}) \perp(\mathrm{Q})\end{array}\right\} \Rightarrow \mathrm{a} \perp(\mathrm{Q})$.
C. Nếu a $\perp(\mathrm{Q})$ thì $(\mathrm{P}) \perp(\mathrm{Q})$.
D. Chỉ có 1 câu sai trong 3 câu trên.
Hướng dẫn giải
ĐÁP ÁN D
$\left.\begin{array}{l}\mathrm{a} \subset(\mathrm{P}) \\ \mathrm{a} \perp \Delta\end{array}\right\} \Rightarrow \mathrm{a} \perp(\mathrm{Q}):$ Sai. Vậy A sai.
$\left.\begin{array}{l}\mathrm{a} \perp \Delta \\ (\mathrm{P}) \perp(\mathrm{Q})\end{array}\right\} \Rightarrow \mathrm{a} \perp(\mathrm{Q})$ : Đúng. Vậy B đúng.
$\left.\begin{array}{l}\mathrm{a} \subset(\mathrm{P}) \\ \mathrm{a} \perp(\mathrm{Q})\end{array}\right\} \Rightarrow(\mathrm{P}) \perp(\mathrm{Q})$ : Đúng. Vậy C đúng.
Ví dụ 3: Cho hai mặt phẳng $(\mathrm{P})$ và $(\mathrm{Q})$ vuông góc với nhau, giao tuyến là $\Delta . \mathrm{A} \in(\mathrm{P})$ và $\mathrm{A} \notin(\mathrm{Q})$. Qua $\mathrm{A}$, vẽ đường thẳng $\Delta^{\prime}$ vuông góc với $(\mathrm{Q})$. Khẳng định nào sau đây sai ?
A. $\Delta^{\prime} \subset(\mathrm{P})$.
B. $\Delta^{\prime}$ chéo $\Delta$.
C. $\Delta^{\prime} \perp \Delta$.
D. Có 2 câu đúng trong 3 câu trên.
Hướng dẫn giải
ĐÁP ÁN B
Ta có: $\left.\begin{array}{l}(\mathrm{P}) \perp(\mathrm{Q}) \\ \Delta^{\prime} \perp(\mathrm{P})\end{array}\right\} \Rightarrow \Delta^{\prime} \subset(\mathrm{P})$ : Đúng. vậy A đúng.
Vì $\Delta^{\prime} \subset(\mathrm{P})$ và $\Delta \subset(\mathrm{P})$ nên $\Delta^{\prime}$ chéo $\Delta$ là sai. Vậy B sai. $\left.\begin{array}{l}\Delta^{\prime} \perp(\mathrm{Q}) \\ \Delta \subset(\mathrm{Q})\end{array}\right\} \Rightarrow \Delta^{\prime} \perp \Delta$ : Đúng. Vậy C đúng.
Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc
