Chứng minh 3 điểm thẳng hàng đồng qui và 3 đường thẳng đồng qui
Chào các em học sinh lớp 11 thân mến! Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau khám phá một chủ đề quan trọng trong chương trình Toán 11 – Chứng minh 3 điểm thẳng hàng đồng qui và 3 đường thẳng đồng qui. Đây là một kiến thức nền tảng giúp các em phát triển tư duy logic và kỹ năng giải quyết vấn đề. Thông qua bài viết này, đội ngũ hdgmvietnam.org hy vọng sẽ mang đến cho các em một cách tiếp cận dễ hiểu, sinh động và hiệu quả. Hãy cùng chúng tôi bắt đầu hành trình chinh phục kiến thức này nhé! Chúng tôi tin rằng với sự chăm chỉ và nhiệt huyết, các em sẽ nhanh chóng nắm vững và áp dụng thành thạo kiến thức này vào các bài toán thực tế.
Trân trọng,
Đội ngũ hdgmvietnam.org
Trích dẫn nội dung Chứng minh 3 điểm thẳng hàng đồng qui và 3 đường thẳng đồng qui
Dạng 4. Chứng minh 3 điểm thẳng hàng đồng qui và 3 đường thẳng đồng qui
– Chứng minh ba điểm thẳng hàng: Ta chứng minh ba điểm đó cùng thuộc 2 mặt phẳng phân biệt. Khi đó chúng phải cùng thuộc đường thẳng giao tuyến của hai mặt, tức là thẳng hàng.
– Chứng minh ba đường đồng qui: Giả sử cần chứng minh $A B, C D, M N$ đồng qui. Ta tìm $K$ là giao của $A B$ và $C D$, sau đó chứng minh $K, M, N$ thẳng hàng.
BÀI TẬP DẠNG 4
Ví dụ 1. Cho mặt phẳng $(\alpha)$ và ba điểm $A, B, C$ không thẳng hàng nằm ngoài mặt phẳng $(\alpha)$. Giả sử các đường thẳng $B C, C A, A B$ lần lượt cắt $(\alpha)$ tại $D, E, F$. Chứng minh ba điểm $D, E, F$ thẳng hàng.
Lời giải.
Ta có $\left\{\begin{array}{l}E, F, D \in(A B C) \\ E, F, D \in(\alpha)\end{array}\right.$, suy ra $E, F, D$ thuộc giao tuyến của $(A B C)$ và $(\alpha)$. Vậy $E, F, D$ thẳng hàng.
Ví dụ 2. Trong mặt phẳng $(\alpha)$, cho tam giác $B C D, A$ là một điểm không thuộc $(\alpha)$. Gọi $E, F, G$ lần lượt là ba điểm trên ba cạnh $A B, A C, B D$ sao cho $E F$ cắt $B C$ tại $I, E G$ cắt $A D$ tại $H$. Chứng minh $C D, I G, H F$ đồng qui.
Lời giải.
Trong $(B C D)$ đặt $C D \cap I G=K$.
Ta có $\left\{\begin{array}{l}F, K, H \in(A C D) \\ F, K, H \in(E I G)\end{array}\right.$, suy ra $F, K, H$ thẳng hàng. Vậy $F H, C D, I G$ đồng qui tại $K$.
Ví dụ 3. Cho tứ diện $A B C D$. Gọi $I$ là điểm nằm trên đường thẳng $B D$ nhưng ngoài đoạn $B D$. Trong mặt phẳng $(A B D)$ ta vẽ một đường thẳng qua $I$ cắt hai đoạn $A B$ và $A D$ lần lượt tại $K$ và $L$. Trong mặt phẳng $(B C D)$ ta vẽ một đường thẳng qua $I$ cắt hai đoạn $C B$ và $C D$ lần lượt tại $M$ và $N$.
a) Gọi $E=B N \cap D M ; F=B L \cap D K$ và $J=L M \cap K N$. Chứng minh rằng ba điểm $A, J, E$ thẳng hàng và ba điểm $C, J, F$ cũng thẳng hàng.
b) Giả sử hai đường thẳng $K M$ và $L N$ cắt nhau tại $H$, chứng minh rằng điểm $H$ nằm trên đường thẳng $A C$.
Lời giải.
a) Ta có $\left\{\begin{array}{l}A, J, E \in(A B N) \\ A, J, E \in(A N D)\end{array}\right.$, suy ra $A, J, E$ thẳng hàng.
Ta có $\left\{\begin{array}{l}C, J, F \in(C D K) \\ C, J, F \in(C B L)\end{array}\right.$, suy ra $C, J, F$ thẳng hàng.
b) Ta chứng minh $H, A, C$ thẳng hàng. Thật vậy, ta có $\left\{\begin{array}{l}H, A, C \in(A B C) \\ H, A, C \in(A C D)\end{array}\right.$, suy ra $H, A, C$ thẳng hàng. Vậy $H \in A C$.
Chứng minh 3 điểm thẳng hàng đồng qui và 3 đường thẳng đồng qui
