Cho hàm số y = f(x), tìm các khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số
Chào các em học sinh lớp 12 thân mến! Hôm nay, đội ngũ giáo viên tại hdgmvietnam.org xin mang đến cho các em một bài viết hết sức hữu ích và thú vị: “Cho hàm số y = f(x), tìm các khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số”. Đây là một kiến thức quan trọng trong chương trình Toán 12, giúp các em nắm vững tính chất và đặc điểm của hàm số. Chúng tôi sẽ cùng các em khám phá cách xác định các khoảng đồng biến, nghịch biến một cách dễ dàng và hiệu quả nhất. Hy vọng bài viết sẽ là một nguồn tài liệu bổ ích, đồng hành cùng các em trên con đường chinh phục môn Toán. Hãy cùng bắt đầu nào!
Trân trọng,
Đội ngũ hdgmvietnam.org
Trích dẫn nội dung Cho hàm số y = f(x), tìm các khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số
Dạng 1: Cho hàm số $y=f(x)$. Tìm các khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số
1. Phương pháp:
– Bước 1: Tìm tập xác định
– Bước 2: Tính đạo hàm $f^{\prime}(x)$. Tìm các điểm tại đó $f^{\prime}(x)=0$ hoặc $f^{\prime}(x)$ không xác định
– Bước 3 : Sắp xếp các điểm đó theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên
– Bước 4: Kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số theo định lý trên
2. Các ví dụ
Ví dụ 1. Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số $y=-x^3+6 x^2-9 x+4$.
Lời giải.
Hàm số $y=-x^3+6 x^2-9 x+4$ có tập xác định $\mathcal{D}=\mathbb{R}$.
Ta có $y^{\prime}=-3 x^2+12 x-9$. Cho $y^{\prime}=0 \Leftrightarrow-3 x^2+12 x-9=0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x=1 \\ x=3\end{array}\right.$.
Vậy hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng $(-\infty ; 1),(3 ;+\infty)$ và đồng biến trên khoảng $(1 ; 3)$.
Ví dụ 2. Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số $y=-x^4+4 x^2-3$.
Lời giải.
Tập xác định của hàm số $y=-x^4+4 x^2-3$ là $\mathcal{D}=\mathbb{R}$.
Ta có $y^{\prime}=-4 x^3+8 x$. Cho $y^{\prime}=0 \Leftrightarrow-4 x^3+8 x=0 \Leftrightarrow 4 x\left(-x^2+2\right)=0$
$$
\Leftrightarrow\left[\begin{array} { l }
{ 4 x = 0 } \\
{ – x ^ { 2 } + 2 = 0 }
\end{array} \Leftrightarrow \left[\begin{array} { l }
{ x = 0 } \\
{ x ^ { 2 } = 2 }
\end{array} \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}
x=0 \\
x= \pm \sqrt{2} \text {. }
\end{array}\right.\right.\right.
$$
Bảng biến thiên
Vậy hàm số đồng biến trên mỗi khoảng $(-\infty ;-\sqrt{2})$ và $(0 ; \sqrt{2})$, hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng $(-\sqrt{2} ; 0)$ và $(\sqrt{2} ;+\infty)$.
Ví dụ 3. Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số $y=\frac{3-2 x}{x+7}$.
Lời giải.
Hàm số $y=\frac{3-2 x}{x+7}=\frac{-2 x+3}{x+7}$ có tập xác định $\mathcal{D}=\mathbb{R} \backslash\{-7\}$. Ta có $y^{\prime}=\frac{-17}{(x+7)^2}<0, \forall x \neq-7$.
Bảng biến thiên
Hàm số đã cho nghịch biến trên mỗi khoảng $(-\infty ;-7)$ và $(-7 ;+\infty)$.
Cho hàm số y = f(x), tìm các khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số
