Lập phương trình đường thẳng d đi qua điểm A cho trước, d cắt d1 và khoảng cách giữa d và d2 lớn nhất

Chào các em học sinh lớp 12 thân mến! Hôm nay, đội ngũ giáo viên nhiệt huyết của hdgmvietnam.org xin mang đến cho các em một bài toán hình học không gian vô cùng thú vị và bổ ích. Chúng ta sẽ cùng tìm hiểu cách lập phương trình đường thẳng d đi qua một điểm A cho trước, sao cho d cắt đường thẳng d1 và khoảng cách từ d đến đường thẳng d2 đạt giá trị lớn nhất. Bài toán này không chỉ giúp các em nắm vững kiến thức hình học không gian trong chương trình Toán 12, mà còn rèn luyện tư duy logic và khả năng giải quyết vấn đề. Hãy cùng chúng tôi khám phá cách giải bài toán thú vị này nhé!

Trân trọng,
Đội ngũ hdgmvietnam.org

Mục Lục

Trích dẫn nội dung Lập phương trình đường thẳng d đi qua điểm A cho trước, d cắt d1 và khoảng cách giữa d và d2 lớn nhất

Bài toán 4: Lập phương trình đường thẳng d đi qua điểm A cho trước, d cắt d1 và khoảng cách giữa d và d2 lớn nhất

Phương pháp giải:
Gọi $(P)$ là mặt phẳng đi qua $A$ và chứa $d_l$, suy ra $d$ nằm trong $(P)$. Khi đó quy về bài toán 3 !

Ví dụ 1

Cho điểm $A(0 ;-1 ; 2)$ và đường thẳng $\mathrm{d}: \frac{x+1}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z-2}{-1}$.
Lập phương trình đường $\Delta$ đi qua $A$ cắt $d$ sao cho
a) Khoảng cách từ $B(2 ; 1 ; 1)$ đến đường thẳng $\Delta$ là lớn nhất.
b) Khoảng cách giữa $\Delta$ và $\mathrm{d}^{\prime}: \frac{x-5}{1}=\frac{y}{-2}=\frac{z}{1}$ là lớn nhất.

Lời giải:

Đường thẳng di qua điểm $M(-1 ; 0 ; 2)$ có VTCP là $\overrightarrow{u_d}=(1 ; 1 ;-1)$, ta có: $\overrightarrow{A M}=(-1 ; 1 ; 0)$ Gọi $(P)$ là mặt phẳng qua $A$ và $d \Rightarrow \Delta \subset(P)$.
Ta có: $\overrightarrow{n_{(P)}}=\left[\overrightarrow{u_d} ; \overrightarrow{A M} ;\right]=(1 ; 1 ; 2)$ và $\overrightarrow{A B}=(2 ; 2 ;-1)$.
a) $d(\mathrm{~B} ; \Delta)_{\max } \Leftrightarrow \overrightarrow{u_{\Delta}}=\left[\overrightarrow{n_{(P)}} ; \overrightarrow{A B}\right]=-5(1 ;-1 ; 0) \Rightarrow \Delta\left\{\begin{array}{l}x=t \\ y=-1-t . \\ z=2\end{array}\right.$
b) Gọi $A^{\prime}(5+2 t ;-2 \mathrm{t} ; t)$ là hình chiếu vuông góc của $\mathrm{A}$ trên $d^{\prime}$.
Ta có: $\overrightarrow{A A^{\prime}}(5+2 t ;-2 t+1 ; t-2) \Rightarrow \overrightarrow{A A^{\prime}} \cdot \overrightarrow{u_{d^{\prime}}}=4 t+10+4 t-2+t-2=0 \Leftrightarrow t=-\frac{2}{3}$ Suy ra $\overrightarrow{A A^{\prime}}\left(\frac{11}{3} ; \frac{7}{3} ; \frac{-8}{3}\right)=\frac{1}{3}(11 ; 7 ;-8)$.
Khi đó $d\left(\Delta ; d^{\prime}\right)_{\max } \Leftrightarrow \overrightarrow{u_{\Delta}}=\left[\overrightarrow{A A^{\prime}} ; \overrightarrow{n_{(P)}}\right]=\frac{2}{3}(11 ;-15 ; 2) \Rightarrow \Delta: \frac{x}{11}=\frac{y+1}{-15}=\frac{z-2}{2}$.

Ví dụ 2

Trong không gian hệ tọa độ $O x y z$, phương trình đường thẳng $\mathrm{d}$ đi qua $A(2 ;-1 ; 2)$, cắt đường thẳng $\mathrm{d}_1: \frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{1}=\frac{z-1}{-1}$, sao cho khoảng cách giữa $d$ và $\mathrm{d}_2: \frac{x+1}{2}=\frac{y}{-2}=\frac{z}{-3}$ lớn nhất có một véc tơ chỉ phương là:
A. $\overrightarrow{u_d}=(33 ; 8 ; 25)$.
B. $\overrightarrow{u_d}=(43 ;-8 ;-25)$.
C. $\overrightarrow{u_d}=(2 ; 1 ; 1)$.
D. $\overrightarrow{u_d}=(41 ; 68 ;-27)$.

Lời giải:

Đường thẳng $\mathrm{d}_1$ đi qua điểm $B(-1 ;-1 ; 1)$ có VTCP là $\overrightarrow{u_1}=(2 ; 1 ; 1) \Rightarrow \overrightarrow{A B}=(-1 ; 0 ;-1)$
Gọi $(P)=\left(A ; d_1\right) \Rightarrow \overrightarrow{n_{(P)}}=\left[\overrightarrow{A B} ; \overrightarrow{u_1}\right]=(1 ;-1 ;-1) \Rightarrow d \subset(P)$.
Gọi $A^{\prime}(-1+t ;-2 t ;-3 t) \in d_2$ là hình chiếu vuông góc của $\mathrm{A}$ trên $d_2$ ta có:
$$
\begin{aligned}
& \overrightarrow{A A^{\prime}}=(t-3 ;-2 t+1 ;-3 t-2) \Rightarrow \overrightarrow{A A^{\prime}} \cdot \overrightarrow{u_{d_2}}=t-3+4 t-2+9 t+6=0 \Leftrightarrow t=-\frac{1}{14} . \\
& \Rightarrow \overrightarrow{A A^{\prime}}=\left(\frac{-43}{14} ; \frac{8}{7} ; \frac{-25}{14}\right)=\frac{1}{14}(-43 ; 16 ;-25) \Rightarrow d\left(\mathrm{~d} ; d_2\right)_{\max } \Leftrightarrow \overrightarrow{u_d}=\left[\overrightarrow{A A^{\prime}} ; \overrightarrow{n_{(P)}}\right]=\frac{1}{14}(41 ; 68 ;-27) \text {. Chọn D. }
\end{aligned}
$$