| |

Lập phương trình đường thẳng d nằm trong mặt phẳng (P), đi qua điểm A cho trước sao cho khoảng cách giữa d và d’ lớn nhất, với d’ là đường thẳng cho trước và cắt (P)

Chào các em học sinh lớp 12 thân mến! Hôm nay, hdgmvietnam.org muốn chia sẻ với các em một bài toán hình học không gian thú vị và hữu ích. Chúng ta sẽ cùng tìm hiểu cách lập phương trình đường thẳng d nằm trong mặt phẳng (P), đi qua một điểm A cho trước sao cho khoảng cách giữa d và một đường thẳng d’ cho trước cắt (P) đạt giá trị lớn nhất. Bài toán này không chỉ giúp các em rèn luyện kỹ năng giải quyết vấn đề, mà còn mở rộng kiến thức về hình học không gian. Hãy cùng hdgmvietnam.org khám phá cách giải quyết bài toán này nhé!

Trân trọng,
Đội ngũ hdgmvietnam.org

Trích dẫn nội dung Lập phương trình đường thẳng d nằm trong mặt phẳng (P), đi qua điểm A cho trước sao cho khoảng cách giữa d và d’ lớn nhất, với d’ là đường thẳng cho trước và cắt (P)

Bài toán 3: Lập phương trình đường thẳng d nằm trong mặt phẳng (P), đi qua điểm A cho trước sao cho khoảng cách giữa d và d’ lớn nhất, với d’ là đường thẳng cho trước và cắt (P)

Phương pháp giải:Lập phương trình đường thẳng d nằm trong mặt phẳng (P), đi qua điểm A cho trước sao cho khoảng cách giữa d và d’ lớn nhất, với d’ là đường thẳng cho trước và cắt (P)
+) Gọi $I=d^{\prime} \cap(P)$, qua $\mathrm{A}$ dựng đường thẳng $\mathrm{d}^{\prime \prime}\left\|\mathrm{d}^{\prime} \Rightarrow \mathrm{d}^{\prime}\right\|(\mathrm{Q})$, với $(\mathrm{Q})$ là mặt phẳng chứa $\mathrm{d}$ và $\mathrm{d}^{\prime \prime}$.
Khi đó $\mathrm{d}\left(d ; d^{\prime}\right)=d\left(d^{\prime} ;(Q)\right)=d(I ;(Q))$
+) Kẻ $I H \perp(Q) ; \mathrm{IK} \perp d^{\prime \prime} \Rightarrow I H=d(I ;(Q))$ và điểm $\mathrm{K}$ cố định.
+) Ta có $\quad H \leq I K \Rightarrow d(\mathrm{I} ;(Q))_{\max }=I K \Leftrightarrow H \equiv K$. Khi đó đường thẳng $d$ nằm trong $(P)$, đi qua $A$ và vuông góc với đường thẳng $I K$, suy ra $d$ có một véc tơ chỉ phương là $\overrightarrow{u_d}=\left[\overrightarrow{n_{(P)}} ; \overrightarrow{I K}\right]$
Gọi $A^{\prime}$ là hình chiếu vuông góc của $A$ lên $d^{\prime}$, suy ra $A A^{\prime} \| I K$, khi đó $\overrightarrow{u_d}=\left[\overrightarrow{n_{(P)}} ; \overrightarrow{\mathrm{AA}^{\prime}}\right]$
Vậy đường thẳng $d$ cần lập đi qua điểm $\mathrm{A}$ và có véc tơ chỉ phương là $\overrightarrow{u_d}=\left[\overrightarrow{n_{(P)}} ; \overrightarrow{\mathrm{AA}^{\prime}}\right]$

Ví dụ 1

Trong không gian hệ tọa độ $O x y z$ cho hai điểm $A(1 ; 0 ; 1)$; và đường thẳng
$\mathrm{d}: \frac{x-2}{2}=\frac{y-1}{-1}=\frac{z}{-1}$ và $(P)=x-y+z-2=0$. Lập phương trình đường thẳng $d$ đi qua $A$, nằm trong $(P)$ sao cho khoảng cách giữa $d$ và $\mathrm{d}^{\prime}$ lớn nhất?

Lời giải:

Gọi $A^{\prime}(2+2 t ; 1-t ;-t)$ là hình chiếu vuông góc của điểm $A$ trên $\mathrm{d}^{\prime}$
Ta có: $\overrightarrow{A A^{\prime}}(1+2 t ; 1-t ;-t-1)$ và $\overrightarrow{A A^{\prime}} \cdot \overrightarrow{u_d}=4 t+2+t-1+t+1=0 \Leftrightarrow t=-\frac{1}{3}$
Suy ra $\overrightarrow{A A^{\prime}}\left(\frac{1}{3} ; \frac{4}{3} ;-\frac{2}{3}\right)=\frac{1}{3}(1 ; 4 ;-2)$. Lại có: $\overrightarrow{n_{(P)}}=(1 ;-1 ; 1)$.
Khi đó $d\left(d ; d^{\prime}\right)_{\max } \Leftrightarrow \overrightarrow{u_d}=\left[\overrightarrow{n_{(P)}} ; \overrightarrow{A A^{\prime}}\right]=(-2 ; 3 ; 5)$
Suy ra $d: \frac{x-1}{-2}=\frac{y}{3}=\frac{z-1}{5}$.

Ví dụ 2

Trong không gian hệ tọa độ $O x y z$ cho hai đường thẳng $\mathrm{d}: \frac{x-1}{1}=\frac{y+1}{-2}=\frac{z}{1}$ và $\mathrm{d}^{\prime}: \frac{x}{2}=\frac{y+1}{-2}=\frac{z-1}{-1}$.
Lập phương trình đường $\Delta$ đi qua $O(0 ; 0 ; 0)$ vuông góc với $d$ và cách $\mathrm{d}^{\prime}$ một khoảng lớn nhất?

Lời giải:

Mặt phẳng $(\mathrm{P})$ đi qua $O(0 ; 0 ; 0)$ và vuông góc với $d$ có VTPT là $\overrightarrow{u_{(P)}}=\overrightarrow{u_d}=(1 ;-2 ; 1)$.
Khi đó $d \subset(Q)$. Gọi $O^{\prime}(2 t ;-1-2 t ; 1-t) \in d^{\prime}$ là hình chiếu vuông góc của $O$ trên $\mathrm{d}^{\prime}$
Ta có: $\overrightarrow{O O^{\prime}}(2 t ;-2 \mathrm{t}-t ;-t+1) \Rightarrow \overrightarrow{O O^{\prime}} \cdot \overrightarrow{d^{\prime}}=4 t+4 t+2+t-1=0 \Leftrightarrow t=-\frac{1}{9} \Rightarrow \overrightarrow{O O^{\prime}}\left(-\frac{2}{9} ;-\frac{7}{9} ; \frac{10}{9}\right)$
Khi đó $d\left(d ; d^{\prime}\right) \max \Leftrightarrow \overrightarrow{u_d}=\left[\overrightarrow{O O^{\prime} ; n_{(P)}}\right]=\frac{1}{9}(13 ; 12 ; 11) \Rightarrow \Delta: \frac{x}{13}=\frac{y}{12}=\frac{z}{11}$.

Ví dụ 3

Trong không gian hệ tọa độ $O x y z$ cho điểm $A(0 ; 1 ;-1)$;đường thẳng $\mathrm{d}: \frac{x-1}{1}=\frac{y}{-1}=\frac{z}{-1}$ và $(P): x-2 y+2 z=0$. Lập phương trình đường $\Delta$ đi qua $A$ song song với $(P)$ sao cho khoảng cách giữa $\Delta$ và $d$ lớn nhất?

Lời giải:

Gọi $(Q)$ là mặt phẳng qua $A$ và song song với $(P): x-2 y+2 z=0 \Rightarrow \overrightarrow{n_{(Q)}}=(1 ;-2 ; 2)$.
Khi đó , $d \subset(Q)$ Gọi $A^{\prime}(1+t ;-\mathrm{t} ;-t) \in d$ là hình chiếu vuông góc của điểm $A$ trên $\mathrm{d}$.
Ta có: $\overrightarrow{A A^{\prime}}(t+1 ;-t-1 ;-t+1) \Rightarrow \overrightarrow{A A^{\prime}} \cdot \overrightarrow{u_{\Delta}}=t+1+t+1+t-11=0 \Leftrightarrow t=\frac{-1}{3}$
Khi đó $\Delta:\left\{\begin{array}{l}x=2 t \\ y=1 \\ z=-1-t\end{array}\right.$.

Lập phương trình đường thẳng d nằm trong mặt phẳng (P), đi qua điểm A cho trước sao cho khoảng cách giữa d và d’ lớn nhất, với d’ là đường thẳng cho trước và cắt (P)

Tải tài liệu

5/5 - (1 vote)

Similar Posts

Để Lại Bình Luận

Địa chỉ email của bạn sẽ không được công bố. Các trường bắt buộc được đánh dấu *