Bài toán tìm điểm M thuộc đường thẳng có yếu tố cực trị

Chào các em học sinh lớp 12 thân mến! Hôm nay, đội ngũ hdgmvietnam.org xin được chia sẻ với các em một chủ đề hấp dẫn trong chương trình Toán 12: Bài toán tìm điểm M thuộc đường thẳng có yếu tố cực trị. Đây là một dạng toán thú vị và thường gặp, giúp các em rèn luyện tư duy logic và kỹ năng giải quyết vấn đề. Thông qua bài viết này, chúng tôi mong muốn đồng hành cùng các em trên con đường chinh phục tri thức, giúp các em trang bị những kiến thức và phương pháp giải toán hiệu quả. Hãy cùng khám phá bài toán này và nâng cao kỹ năng Toán học của mình nhé!

Trân trọng,
Đội ngũ hdgmvietnam.org

Mục Lục

Trích dẫn nội dung Bài toán tìm điểm M thuộc đường thẳng có yếu tố cực trị

Dạng 5: Bài toán tìm điểm $M$ thuộc đường thẳng có yếu tố cực trị

Phương pháp giải:
Tham số hóa điểm $M$ theo phương trình đường thẳng.
Biến đổi giả thiết về dạng $y=f(t)$ và tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số $y=f(t)$.
Chú ý:
Tam thức bậc hai: $y=a x^2+b x+c(a \neq 0)$ có đỉnh $I\left(\frac{-b}{2 a} ; \frac{-\Delta}{4 a}\right)$.
Bất đẳng thức véc tơ: Cho 2 véc tơ $\vec{u}=(a ; b)$ và $\vec{v}=(c ; d)$ ta có: $|\vec{u}|+|\vec{v}| \geq|\vec{u}+\vec{v}|$
Khi đó $\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{c^2+d^2} \geq \sqrt{(a+c)^2+(b+d)^2}$ dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow \frac{a}{c}=\frac{b}{d}$.

Ví dụ 1

Trong không gian hệ tọa độ $O x y z$ cho đường thẳng $\mathrm{d}: \frac{x}{1}=\frac{y-3}{-1}=\frac{z+1}{2}$ và hai điểm $A(2 ;-1 ; 1)$; $B(0 ; 1 ;-2)$. Tìm tọa độ điểm $M$ thuộc đường thẳng $d$ sao cho tam giác $A B M$ có diện tích nhỏ nhất.

Lời giải:

Đường thẳng $d$ có phương trình tham số $d:\left\{\begin{array}{l}x=t \\ y=3-t \\ z=-1+2 t\end{array}\right.$
Gọi $\mathrm{M}$ là điểm cần tìm. Do nếu $\mathrm{M}$ thuộc $\mathrm{d}$ thì $\mathrm{M}$ nên $M(t ; 3-t ;-1+2 t)$.
Diện tích tam giác $\mathrm{M}$ được tính bởi $\mathrm{S}=\frac{1}{2}\left[[\overrightarrow{A M} ; \overrightarrow{B M}]\right.$ trong đó $\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{A M}=(t-2 ; 4-t ; 2 t-2) \\ \overrightarrow{A B}=(-2 ; 2 ;-3)\end{array}\right.$
Do đó $S_{A B M}=\frac{1}{2}|[\overrightarrow{A M}, \overrightarrow{A B}]|=\frac{1}{2}|(-8-t ;-t-2 ; 4)|=\frac{1}{2} \sqrt{(t+8)^2+(t+2)^2+16}$ $=\frac{1}{2} \sqrt{2(t+5)+34} \geq \frac{1}{2} \sqrt{34}$. Vậy $\operatorname{minS}=\frac{\sqrt{34}}{2} t=-5 \Rightarrow M(-5 ; 8 ;-11)$.

Ví dụ 2

Trong không gian hệ tọa độ $O x y z$ cho ba điểm $A(1 ; 0 ;-1) ; B(0 ; 2 ; 3) ; C(-1 ; 1 ; 1)$ và đường thẳng $\mathrm{d}: \frac{x+1}{1}=\frac{y-1}{-2}=\frac{z}{2}$ Tìm điểm $M$ trên $d$ sao cho:
a) $M A^2+2 M B^2-4 M C^2$ đạt giá trị lớn nhất?
b) $|\overrightarrow{A M}+\overrightarrow{B C}|_{\min }$ đạt giá trị nhỏ nhất.

Lời giải:

a) Gọi $M(-1+t ; 1-2 t ; 2 t) \in d$ và $\mathrm{I}$ là điểm thỏa mãn $\overrightarrow{I A}+2 \overrightarrow{I B}-4 \overrightarrow{I C}=\overrightarrow{0} \Rightarrow I(-5 ; 0 ;-1)$ Biến đổi $M A^2+2 M B^2-4 M C^2=-M I^2+I A^2+2 M B^2-4 M C^2$ lớn nhất $\Leftrightarrow M I^2$ nhỏ nhất Lại có: $M I^2=(t+4)^2+(2 t-1)^2+(2 t+1)^2=9 t^2+8 t+18$ nhỏ nhất $\Leftrightarrow t=-\frac{4}{9} \Rightarrow M\left(\frac{-13}{7} ; \frac{17}{9} ; \frac{-8}{9}\right)$.
b) Ta có: $\overrightarrow{A M}(t-2 ; 1-2 t ; 2 t+1) ; \overrightarrow{B C}=(-1 ;-1 ;-2)$
Khi đó $|\overrightarrow{A M}+\overrightarrow{B C}|_{\min }=|(t-3 ;-2 t ; 2 t-1)|=\sqrt{(t-3)^2+4 t^2+(2 t-1)^2}=\sqrt{9 t^2-10 t+10}$ nhỏ nhất $\Leftrightarrow t=\frac{-b}{2 a}=\frac{5}{9} \Rightarrow M\left(\frac{-13}{9} ; \frac{-1}{9} ; \frac{19}{9}\right)$.

Ví dụ 3

Trong không gian hệ tọa độ $O x y z$ cho hai điểm $A(0 ; 0 ; 3) ; B(0 ; 3 ; 3)$ và đường thẳng $\mathrm{d}: \frac{x}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z}{1}$ Tìm điểm $M$ trên $d$ sao cho:
a) $M A^2+2 M B^2$ đạt giá trị nhỏ nhất
b) $M A+M B$ đạt giá trị nhỏ nhất.

Lời giải:

a) Gọi $M(t ; t ; t)$ ta có: $M A^2+2 M B^2=2 t+(t-3)^2+2\left[t^2+2(t-3)^2\right]=9 t^2-30 t+45$ đạt giá trị nhỏ nhất
$$
t=\frac{-b}{2 a}=\frac{5}{3} \Rightarrow M\left(\frac{5}{3} ; \frac{5}{3} ; \frac{5}{3}\right)
$$
b) Ta có: $M A+M B=\sqrt{2 t^2+(t-3)^2}+\sqrt{t^2+2(t-3)^2}=\sqrt{3}\left(\sqrt{(t-1)^2+2}+\sqrt{(t-2)^2+2}\right)$
$$
=\sqrt{3}\left(\sqrt{(t-1)^2+2}+\sqrt{(2-t)^2+2}\right) \geq \sqrt{3} \cdot \sqrt{(t-1+2-t)^2+(\sqrt{2}+\sqrt{2})^2}=3 \sqrt{3} \text {. }
$$
Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow \frac{t-1}{2-t}=1 \Leftrightarrow t=\frac{3}{2} \Rightarrow M\left(\frac{3}{2} ; \frac{3}{2} ; \frac{3}{2}\right)$.